为什么插入排序不是动态编程

Question

动态规划问题具有最优子结构，并且有一个可以用递推关系描述的解。

排序列表是向已排序列表添加元素，因此插入排序具有最佳子结构。递归关系可以描述为

Sorted_List_n = Sorted_list_n-1 + next element

那么为什么不将插入排序视为一种动态编程算法呢？我了解它是如何应用于斐波那契数列和编辑距离的，但并没有真正超越。

Answer 1

如果问题具有以下两个属性，则可以使用动态规划 (DP) 解决给定问题。

1）重叠子问题（osp）

2) 最优子结构（oss）

尽管插入排序算法具有最优子结构属性，但它不具有重叠子问题属性。稍微细化的解释如下..

在斐波那契数计算案例中，我们显然具有上述两个属性。

osp : fib(5) 计算将 fib(3) 作为其子问题。同时，fib(4) 的计算以 fib(3) 为子问题。但是 fib(5) = fib(4) + fib(3)。如果我们在没有 DP 技术的情况下盲目地计算 fib(5)，我们最终会计算 fib(3) 两次（一次用于 fib(4)，一次用于 fib(3) 本身）。这里，重叠的子问题之一是 fib(3)

oss : 同理，如果我们可以计算出fib(4)和fib(3)的最优解，那么fib(5)的解也可以得到最优解。因为 fib(5) 只是 fib(4) 和 fib(3) 的和。

现在，让我们尝试检查这两个属性是否存在于插入排序中。 假设您正在对一个数字数组 {5, 2, 3, 1} 进行排序。

osp :根据您认为子问题的重复出现如下..

• {5、2、3、1}

• {5、2、3}

• {5, 2}

• {5}

如果我们仔细观察，我们可以看到没有两个相似的子问题。这意味着不存在重叠子问题属性。

oss : 如果我们可以对大小为 (n-1) 的数组进行最优排序，那么我们也可以对大小为 (n) 的数组进行最优排序。所以存在最优子结构性质。

总之，插入排序算法没有重叠子问题的属性。因此，它不是 DP 解决方案。