找到 x1² + x2² + ... + xn² = 1 的所有可能解的算法

Question

是否有任何算法可以找到这个方程的所有可能解：

x1² + x2² + ... + xn² = 1

其中 xi > 0 且 n >= 2

为了限制解，我们可以将 x 的小数点固定为 1。 例如：

如果 n = 2，找出所有满足 x1² + x2² = 1 的元组 (x1, x2) 该函数的返回类似于（将小数点固定为 1）：

[
    [0.1, 1],
    [0.2, 1],
    [0.3, 0.9],
    [0.4, 0.9],
    [0.5, 0.9],
    [0.6, 0.8],
    [0.7, 0.7],
    [0.8, 0.6],
    [0.9, 0.4],
    [1, 0.1],
    [1, 0.2],
    ...
    [0.4, 0.9]
]

对于 n=2 这很容易，但我需要对 n >= 2 进行概括。

Answer 1

首先，您提供的方程式是R^n 中半径为 1 的球体的一般描述。因此，所有可能点的数量是无限且不可数的！

如果您希望所有点都具有 1 个小数精度，您可以轻松地对其进行概括。假设您想要n = 3 的算法。将 x_3 修复为 0 到 1 (0.1, 0.2, ..., 0.9) 之间的值。那么这意味着您设置了一个与R^3 中的球体相交的平面。现在，您想要找到x1 和x2，这样您在R^2 中有一个半径为1-x^3 的圆。正如您所说，您知道如何解决 2D 问题。

现在您知道如何解决n = 3 的问题了。因此，您可以递归地解决这个问题并将其推广到 n > 3。

Answer 2

正如@OmG 所指出的，您的方程类似于 n 球体的方程。因此，试图找到所有可能的解决方案是很困难的，因为它们的数量是无限的。可以使用一个简单的参数方程找到所有解的参数化版本：

2D: x1=cos(t1)                          t1 in [0,2pi[
    x2=sin(t1)
3D: x1=cos(t1)                          t1 in [0,pi]
    x2=sin(t1) cos(t2)                  t2 in [0,2pi[
    x3=sin(t1) sin(t2)
4D: x1=cos(t1)                          t1 in [0,pi]
    x2=sin(t1) cos(t2)                  t2 in [0,pi]
    x3=sin(t1) sin(t2) cos(t3)          t3 in [0,2pi[
    x4=sin(t1) sin(t2) sin(t3)
...

见https://en.m.wikipedia.org/wiki/N-sphere

如果您只对达到给定小数精度的解决方案感兴趣，那么您不应该使用浮点数，而是整数。例如，如果您对所有解决方案感兴趣 x₁,x₂,x_方程的3 x₁² + x₂² + x₃² = 1。其中 x_1,2,3 = ±ab 其中 a = 0 或 1，b 为 0,1,2,3,4 ,5,6,7,8 或 9。然后更容易使用整数来避免由于浮点逼近导致的数字错误（请参阅Is floating point math broken?）。您需要做的就是将您的数字乘以 10 (y₁ = 10 · x₁) 并求解方程 y1² + y₂² + y₃² = 100 从整数的角度来看。

在这种情况下，一个简单的蛮力算法就是：

do i=0,10
  do j=0,i
    if (i*i + j*j > 100) jump out of j-loop
    do k=0,j
      if (i*i+j*j+k*k == 100) print i,j,k
    end do
  end do
end do

上面将打印 i,j,k。但是，所有可能的排列和符号更改也是有效的解决方案。所以解决方案 (8,6,0) 也意味着 (-8,6,0), (-6,0,8), (0,8,6), ... 是解决方案。

所以最后，我们将浮点问题简化为一个更容易在数值上检查的整数问题。

现在与这个问题相关的是：

• How many integer solutions are there on an n-dimensional hypersphere of radius r centred at the origin?
• Integer lattice points on a hypershpere
• Is there a simple way to compute the number of ways to write a positive integer as the sum of three squares?
• http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html

如果您想加快速度，您可能还对以下内容感兴趣：

• Fastest way to determine if an integer's square root is an integer