使用 scipy.integrate.quad 执行 3D 积分答案

【问题标题】：Using scipy.integrate.quad to perform 3D integral使用 scipy.integrate.quad 执行 3D 积分
【发布时间】：2018-12-20 12:11:02
【问题描述】：

问题的动机

我正在尝试在所有空间上集成一个函数 f(x,y,z)。

我尝试使用 scipy.integrate.tplquad 和 scipy.integrate.nquad 进行积分，但两种方法都将积分返回为 0（当积分应该是有限的时）。这是因为，随着积分量的增加，被积函数非零的区域被采样的次数越来越少。积分“错过”了这个空间区域。但是， scipy.integrate.quad 似乎确实能够通过更改变量来处理来自 [-infinity, infinity] 的积分...

问题

是否可以使用 scipy.integrate.quad 3 次来执行三重积分。我想到的代码如下所示：

x_integral = quad(f, -np.inf, np.inf)
y_integral = quad(x_integral, -np.inf, np.inf)
z_integral = quad(y_integral, -np.inf, np.inf)

其中 f 是函数 f(x, y, z)，x_integral 应该从 x = [- infinity, infinity] 积分，y_integral 应该从 y = [- infinity, infinity] 积分，z_integral 应该从 z = 积分[-无限，无限]。我知道 quad 想要返回一个浮点数，因此不喜欢在 x 上集成一个函数 f(x, y, z) 以返回一个 y 和 z 的函数（如上面代码中的 x_integral = ... 行正在尝试做）。有没有办法实现上面的代码？

谢谢

【问题讨论】：

标签： python scipy integrate quad

【解决方案1】：

这是一个嵌套调用 quad 的示例，执行积分得到球体体积的 1/8：

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

def fz(x, y):
    return quad( lambda z:1, 0, np.sqrt(x**2+y**2) )[0]

def fy(x):
    return quad( fz, 0, np.sqrt(1-x**2), args=(x, ) )[0]

def fx():
    return quad( fy, 0, 1 )[0]

fx()
>>> 0.5235987755981053

4/3*np.pi/8
>>> 0.5235987755982988

【讨论】：

【解决方案2】：

我正在尝试在所有空间上集成一个函数 f(x,y,z)。

首先，您必须问自己为什么积分应该收敛。它有exp(-r) 或exp(-r^2) 的因子吗？在这两种情况下，quadpy（我的一个项目有适合你的东西），例如，

import quadpy

scheme = quadpy.e3r2.stroud_secrest_10a()
val = scheme.integrate(lambda x: x[0]**2)
print(val)

2.784163998415853

【讨论】：