双变量对数正态密度函数的积分答案

【问题标题】：Integration of bivariate lognormal density function双变量对数正态密度函数的积分
【发布时间】：2020-02-25 02:09:07
【问题描述】：

rho = 0.8;

ff = @(x, y) (exp(-(((log(x)-10).^2 - 2.* rho .* (log(x)-10) .* (log(y)-10)+(log(y)-10).^2)./(2 .* (1-rho.^2))))./(2.*pi.*sqrt(1-rho.^2).*x.*y));

syms x y
vpaintegral(vpaintegral(ff, x, [0 inf]), y, [0 inf])

为什么上面Matlab中二元对数正态密度函数的积分不是1？

注意：这个对数正态二元随机变量的对数变换是一个二元正态随机变量，均值为 (10, 10)，协方差矩阵为 (1, rho, rho, 1)。

【问题讨论】：

标签： matlab integration numeric probability-density

【解决方案1】：

使用integral2：

我们得到 0.9994，

% MATLAB R2019a
rho = 0.8;
ff = @(x, y) (exp(-(((log(x)-10).^2-2.*rho.*(log(x)-10).*(log(y)-10)+(log(y)-10).^2)./(2.*(1-rho.^2))))./(2.*pi.*sqrt(1-rho.^2).*x.*y));

area = integral2(ff,0,inf,0,inf)     % area = 0.9994

但是调整容差可以得到想要的结果。

area = integral2(ff,0,inf,0,inf,'Method','iterated','AbsTol',0,'RelTol',1e-10)

ans = 1.0000

format long
area

ans = 0.999999999999998

不太破旧。

使用 vpaintegral 来自符号工具箱：

您也可以将adjust the tolerance 换成vpaintegral。

使用1e-4 中的Relative Error Tolerance 完成了工作。该参数极大地影响计算时间。

syms x y
area = vpaintegral(vpaintegral(ff, x, [0 inf],'RelTol', 1e-4, 'AbsTol', 0), y, [0 inf],'RelTol', 1e-4, 'AbsTol', 0)

面积 = 1.0

【讨论】：

谢谢，但为什么 vpaintegral 不起作用。我通过使用 vpaintegral 得到 ans = 0.00547892，差别很大。
@user53154 我认为这是一个容忍问题。请参阅我的更新答案。如果问题仍然存在，请随时发表评论。