如何在 Python 中使用 x^2 进行（空中飞人）集成？

Question

我的任务是首先与 f(x)=x^2

的 Python 进行集成，然后进行梯形集成

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(-10,10)   
y = x**2

l=plt.plot(x,y)
plt.show(l)

现在我想整合这个函数得到这个：F(x)=(1/3)x^3和图片：

这应该是最后的输出：

有人可以解释一下如何用 python 获得 f(x)=x^2 的反导数 F(x) 吗？ 我想通过普通积分和空中飞人积分来做到这一点。对于从（-10 到 10）的梯形积分，步长为 0.01（梯形的宽度）。最后我想在这两种情况下都得到函数 F(x)=(1/3)x^3 。我怎样才能做到这一点？

谢谢你帮助我。

Answer 1

有两个关键观察：

• 梯形法则是指数值积分，其输出不是积分函数而是一个数
• 积分取决于您对F(x) 的定义中未包含的任意常数

考虑到这一点，您可以使用scipy.integrate.trapz() 来定义积分函数：

import numpy as np
from scipy.integrate import trapz


def numeric_integral(x, f, c=0):
    return np.array([sp.integrate.trapz(f(x[:i]), x[:i]) for i in range(len(x))]) + c

或者，更有效的是，使用scipy.integrate.cumtrapz()（从上面进行计算）：

import numpy as np
from scipy.integrate import cumtrapz


def numeric_integral(x, f, c=0):
    return cumtrapz(f(x), x, initial=c) 

如下图：

import matplotlib.pyplot as plt


def func(x):
    return x ** 2


x = np.arange(-10, 10, 0.01)
y = func(x)
Y = numeric_integral(x, func)

plt.plot(x, y, label='f(x) = x²')
plt.plot(x, Y, label='F(x) = x³/3 + c')
plt.plot(x, x ** 3 / 3, label='F(x) = x³/3')
plt.legend()

它为您提供所需的结果，但您应该自己指定任意常量。

对于良好的测量，虽然在这种情况下不相关，但请注意 np.arange() 如果与小数步一起使用，则不会提供稳定的结果。通常，人们会改用np.linspace()。

Answer 2

来自 scipy 的 cumtrapz 函数将使用梯形积分提供反导数：

from scipy.integrate import cumtrapz
yy = cumtrapz(y, x, initial=0)

# make yy==0 around x==0 (optional)
i_x0 = np.where(x >= 0)[0][0]
yy -= yy[i_x0]

Answer 3

梯形积分

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(-10, 10, 0.1)
f = x**2

F = [-333.35]
for i in range(1, len(x) - 1):
    F.append((f[i] + f[i - 1])*(x[i] - x[i - 1])/2 + F[i - 1])
F = np.array(F)

fig, ax = plt.subplots()

ax.plot(x, f)
ax.plot(x[1:], F)

plt.show()

这里我应用了理论公式(f[i] + f[i - 1])*(x[i] - x[i - 1])/2 + F[i - 1]，而积分是在块中完成的：

F = [-333.35]
for i in range(1, len(x) - 1):
    F.append((f[i] + f[i - 1])*(x[i] - x[i - 1])/2 + F[i - 1])
F = np.array(F)

注意，为了绘制x 和F，它们必须具有相同数量的元素；所以我忽略了x 的第一个元素，所以它们都有199 元素。这是梯形方法d 的结果：如果你整合一个数组f 的n 元素，你得到一个数组F 的n-1 元素。此外，我将F的初始值设置为-333.35x = -10，这是积分过程中的任意常数，我决定该值是为了在原点附近传递函数。

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分析整合

import sympy as sy
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = sy.symbols('x')
f = x**2
F = sy.integrate(f, x)

xv = np.arange(-10, 10, 0.1)
fv = sy.lambdify(x, f)(xv)
Fv = sy.lambdify(x, F)(xv)

fig, ax = plt.subplots()

ax.plot(xv, fv)
ax.plot(xv, Fv)

plt.show()

这里我通过sympy 模块使用符号数学。集成在块中完成：

F = sy.integrate(f, x)

注意，在这种情况下，F 和 x 已经具有相同数量的元素。而且代码更简单。