用 DSolveValue 求解积分方程答案

【问题标题】：Solving integral equations with DSolveValue用 DSolveValue 求解积分方程
【发布时间】：2021-01-01 13:46:23
【问题描述】：

我必须在 Mathematica 中以数值方式求解以下积分方程： x[s] == 2.5 - (1.35 NIntegrate[x[t], {t, 0.7, 1}])/( 0.1 - 0.1 NIntegrate[x[t], {t, 0.7, 1}]), x[0.9] == 1

为了做到这一点，我通过以下方式使用 NSolveValue：

DSolveValue[{x[s] == 2.5 - (1.35 NIntegrate[x[t], {t, 0.7, 1}])/(0.1 - 0.1 NIntegrate[x[t], {t, 0.7, 1 }]), x[0.9] == 1}, x[s], s]

但 Mathematica 会产生以下错误：对于边界为 {{0.9,1}} 的区域中的所有采样点，被积函数 x[t] 已评估为非数值。

NIntegrate::inumr 的进一步输出将在此计算期间被抑制。

对于一般解的某些分支，给定的边界条件导致空解。

我做错了什么？

感谢您的帮助！

【问题讨论】：

标签： wolfram-mathematica differential-equations integral numerical-integration

【解决方案1】：

假设 x[t] 足够好，可以让它工作。

假设y[t] 是x[t] 的不定积分。

假设x[t]从t=.7到1的定积分是y[1]-y[.7]。

我们必须稍后检查这一切是否属实。

所以你的问题就变成了

DSolve[y'[s]==25/10-(135/100 (y[1]-y[7/10]))/(1/10-1/10 (y[1]-y[7/10]))},y[s],s]

{{y[s] -> C[1] + s*(16 - 27/(2 + 2*y[7/10] - 2*y[1]))}}

现在应用你的初始条件

FullSimplify[Solve[1==c1+9/10(16-27/(2+2y[7/10]-2y[1])),c1]]

c1 -> -67/5 + 243/(20*(1 + y[7/10] - y[1]))

并将其放入解决方案中

y[s]==FullSimplify[-67/5+243/(20*(1+y[7/10]-y[1]))+s*(16-27/(2+2*y[7/10]-2*y[1]))]

y[s] == -67/5 + 16*s - (27*(-9 + 10*s))/(20*(1 + y[7/10] - y[1]))

我们不知道y[7/10] 或y[1] 的值。不过好在y[s] 还算简单。

如果我尝试解决你的两个未知数

Reduce[{y[7/10] == -67/5+16*7/10-(27*(-9+10*7/10))/(20*(1+y[7/10]-y[1])),
         y[1]   == -67/5+16*1-   (27*(-9+10*1   ))/(20*(1+y[7/10]-y[1]))},{y[7/10],y[1]}]

(y[7/10] == (-14 - Sqrt[766])/15 || y[7/10] == (-14 + Sqrt[766])/15) &&
y[1] == (3 - y[7/10])/2

然后

y[s] == FullSimplify[-67/5 + 16*s - (27*(-9 + 10*s))/
  (20*(1 + (-14 - Sqrt[766])/15 - (3 - (-14 - Sqrt[766])/15)/2))]

y[s] == (-77 - 3*Sqrt[766])/10 + ((29 + Sqrt[766])*s)/3

或

y[s] == FullSimplify[-67/5 + 16*s - (27*(-9 + 10*s))/
  (20*(1 + (-14 + Sqrt[766])/15 - (3 - (-14 + Sqrt[766])/15)/2))]

y[s] == (-231 + 9*Sqrt[766] - 10*(-29 + Sqrt[766])*s)/30

这有帮助吗？你能接受结果并尝试检查这是否是一个有效的解决方案吗？或者找出任何无效的步骤？或者简化这个过程并让 Mathematica 做更多的工作？

在您信任其中任何一个之前，请仔细检查所有这些。

【讨论】：