将 3D 激光雷达点从笛卡尔坐标系转换为球坐标系和立体投影

Question

我正在撰写我的硕士论文，以模拟来自 Lidar-Data 的半球形照片。所以我的主要目标是将笛卡尔坐标系中的 3D 点 (X,Y,Z) 投影到立体投影（见图 1，来自：here）。我的 Pointcloud 的坐标系进行了转换，使中心点位于 (0,0,0) 并且所有 z 值都是正数。

我在 RStudio 中编码，我首先尝试通过使用wikipedia 上列出的笛卡尔到球坐标的公式来实现点云的球面投影。

r     <- sqrt(x^2 + y^2  + z^2)
theta <- acos(z/r)
phi   <- atan2(y,x)

我还尝试使用 RPackage pracma 中的 cart2sph-function 来执行此操作，它也应该这样做。但不幸的是，这两种方法的结果看起来都不像我想要的那样。这些点不适合平面半球体，但似乎只是沿 z 轴定向（见图 2）。

有没有人建议如何在 RStudio 中实现激光雷达点云的立体投影？甚至可能有一个包含一些功能的包来进行坐标转换？不幸的是，我没有很多编码经验，我会非常感谢每一个帮助。

编辑

我使用 Allans 脚本在半球上绘制笛卡尔点。使用 Cloudcompare 软件的结果如下所示：

图片： Hemisphere

我还使用转换后的笛卡尔坐标进行了立体投影：

x2 <- (x / (1 + z))
y2 <- (y / (1 + z))
project_2d <- data.frame(x2, y2)

图片： Stereographic projection

我仍然想知道为什么图的外边缘不适合一个完美的圆圈，因为所有树干都有相同的 min(z) 值（我使用了一个剪切框）。所以所有的树干都应该排列在半球的“赤道”上。你有什么线索吗？

Answer 1

很难用 3D 显示这个结果，但我会尽力而为。

假设我们有一个十字形状的点的集合，悬挂在相机上，与地面平行：

x <- c(rep(seq(-10, 10, 1), 2), rep(-1, 21), rep(1, 21))
y <- c(rep(-1, 21), rep(1, 21), rep(seq(-10, 10, 1), 2))
z <- rep(3, 84)

我们可以尝试在rgl中显示这个，添加一个红点来表示摄像头位置：

library(rgl)

plot3d(x, y, z, zlim = c(0, 10))
points3d(0, 0, 0, col = "red")

使用您找到的转换为球坐标的公式，我们可以将这些 3D 点从 x、y、z 转换为 theta、phi 和 r。但是，要将它们投影到笛卡尔坐标中的半球上，我们需要在距相机固定距离处设置 r。然后，我们需要根据 theta、phi 和固定 r 计算该半球上点的 x、y、z 坐标。这个函数应该这样做：

projection <- function(x, y, z) {
  r     <- sqrt(x^2 + y^2  + z^2)
  theta <- acos(z / r)
  phi   <- atan2(y, x)
  y <- theta * cos(phi)
  x <- theta * sin(phi)
  z <- sqrt((pi / 2)^2 - x^2 - y^2)
  data.frame(x, y, z)
}

所以现在我们这样做：

df <- projection(x, y, z)

我们可以再次绘图以显示投影到半球上的点：

plot3d(df$x, df$y, df$z, zlim = c(0, pi))

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