从给定集合中找到具有最大点密度的最小圆

Question

给定地球表面一组 n 个位置的 (lat, lon) 坐标，找到一个 (lat, lon) 点 c 和一个r 的值 > 0 使得 我们最大化每平方位置的密度，d 英里，比方说，在由 c 和 r 定义的圆所描述和包含的表面积中。

起初我想也许你可以使用线性规划来解决这个问题。然而，密度取决于面积取决于 r 平方。二次项。所以，我认为问题不适合线性规划。

有没有解决这种事情的已知方法？假设您将问题简化为笛卡尔平面上的 (x, y) 坐标。这样会更容易吗？

你有两个变量 c 和 r 你试图找到以最大化密度，这是 c 和 r （以及位置，这是一个常数）。那么爬山法、梯度下降法或模拟退火法可能会奏效吗？您可以对您的第一个值做出很好的猜测。只需使用位置的质心。我认为您从那里达到的局部最大值将是全局最大值。

Answer 1

步骤：

• 使用基于密度的聚类算法对点进行聚类¹;
• 计算每个簇的密度；
• 递归（或迭代）对最密集簇中的点进行子簇；
  • 该算法必须忽略异常值并使其成为自己的集群。这样，所有高密度的异常值将被保留，低密度的异常值将被剔除。
• 跟踪迄今为止观察到的最高密度的集群。当你最终到达一个由一个点组成的集群时返回。

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此算法仅在您拥有如下所示的集群时才有效，因为递归探索将产生类似形状的集群：

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算法会因为像这样形状笨拙的簇而失败，因为正如您所见，即使在计算甜甜圈形状中的密度时三角形最密集，但它们会报告以 [ 为中心的圆的密度要低得多0, 0]:

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^{1.一种适合您的基于密度的聚类算法是DBSCAN。}