【发布时间】：2011-01-10 04:55:34
【问题描述】：
当一位朋友谈到编程竞赛时，我们想知道最好的方法是什么：
给定一个点列表，找到一个预定大小的圆的中心，该圆覆盖了最多的点。如果有多个这样的圈子，找到其中一个很重要。
示例输入：1000 个点，在 500x500 的空间中，一个直径为 60 的圆。
【问题讨论】：
标签： algorithm optimization geometry
【发布时间】：2011-01-10 04:55:34
【问题描述】：
很快的想法，不一定是对的：
- 对于每个点 P，您计算一个“候选覆盖区域” - 其覆盖圆的中心可能位于的连续点。自然也是一个圆心在P的直径为D的圆。
- 对于每个点 P，您将其候选覆盖区域与其他点的相应区域相交。一些候选覆盖区域可能与 P 相交并彼此相交。对于每个交叉点，您计算交叉区域的数量。被候选区域最多的图形相交的图形是覆盖圆中心的候选区域，该覆盖圆覆盖了P和尽可能多的其他点。
- 找到交叉口数量最多的候选区域
似乎是 N^2 复杂度，前提是计算圆形区域的交点很容易
【讨论】：
-
所以问题是：我们如何有效地计算/存储圆的交点？ :)
如何使用聚类算法来识别点的聚类。然后确定具有最大点数的聚类。以具有最大点的簇的平均点为圆心，然后画圆。
MATLAB 支持 implementation 或 k-means algorithm，它会返回一个二维数组（准确地说是一个矩阵），其中包含聚类均值和相应的聚类 ID。
众所周知，k-means 的另一面是事先决定 k（簇数）。不过，这可以解决——可以从数据点中学习 k 的值。请检查此paper。
我希望这会有所帮助。
干杯
【讨论】：
除非我遗漏了一些明显的东西，否则我认为有一个简单的答案。
对于一个矩形区域MxN，点数P，半径R：
- 将 MxN 区域的地图（例如 int 的 2D 数组）初始化为全零
- 对于你的每个 P 点
- 将半径 R 内的所有地图点增加 1
- 查找具有最大值的地图元素 - 这将是您正在寻找的圆的中心
这是 O(P)，假设 P 是感兴趣的变量。
【讨论】：
-
这适用于整数网格，但如果点坐标是真实值，您可能会遇到问题。
-
（原始海报）让我想起了我最不公正的投票之一：stackoverflow.com/questions/244452/… :)
-
@Mark - 好点 - 我认为如果我们将地图中的每个元素都视为一个“bin”，可能仍然可以应用相同的技术，但这可能仍然会留下一些我们赢得的边缘情况'找不到使用这个方法。
-
这是 O(P^2)，因为简单地计算圆中的点已经是 O(P)。
到目前为止我最好的方法是：
每个包含点的圆都必须有一个最左边的点。因此，它列出了一个点右侧可能在圆范围内的所有点。它首先按 x 对点进行排序，以使扫描更加合理。
然后它再次对它们进行排序，这次是根据它们右侧的邻居数，以便首先检查具有最多邻居的点。
然后它会检查每个点，并且对于右侧的每个点，它会计算一个圆，其中这对点位于左周边。然后它计算这样一个圆圈内的点。
因为这些点是按潜力排序的，所以一旦考虑到所有可能导致更好解决方案的节点，它就可以提前退出。
import random, math, time
from Tkinter import * # our UI
def sqr(x):
return x*x
class Point:
def __init__(self,x,y):
self.x = float(x)
self.y = float(y)
self.left = 0
self.right = []
def __repr__(self):
return "("+str(self.x)+","+str(self.y)+")"
def distance(self,other):
return math.sqrt(sqr(self.x-other.x)+sqr(self.y-other.y))
def equidist(left,right,dist):
u = (right.x-left.x)
v = (right.y-left.y)
if 0 != u:
r = math.sqrt(sqr(dist)-((sqr(u)+sqr(v))/4.))
theta = math.atan(v/u)
x = left.x+(u/2)-(r*math.sin(theta))
if x < left.x:
x = left.x+(u/2)+(r*math.sin(theta))
y = left.y+(v/2)-(r*math.cos(theta))
else:
y = left.y+(v/2)+(r*math.cos(theta))
else:
theta = math.asin(v/(2*dist))
x = left.x-(dist*math.cos(theta))
y = left.y + (v/2)
return Point(x,y)
class Vis:
def __init__(self):
self.frame = Frame(root)
self.canvas = Canvas(self.frame,bg="white",width=width,height=height)
self.canvas.pack()
self.frame.pack()
self.run()
def run(self):
self.count_calc0 = 0
self.count_calc1 = 0
self.count_calc2 = 0
self.count_calc3 = 0
self.count_calc4 = 0
self.count_calc5 = 0
self.prev_x = 0
self.best = -1
self.best_centre = []
for self.sweep in xrange(0,len(points)):
self.count_calc0 += 1
if len(points[self.sweep].right) <= self.best:
break
self.calc(points[self.sweep])
self.sweep = len(points) # so that draw() stops highlighting it
print "BEST",self.best+1, self.best_centre # count left-most point too
print "counts",self.count_calc0, self.count_calc1,self.count_calc2,self.count_calc3,self.count_calc4,self.count_calc5
self.draw()
def calc(self,p):
for self.right in p.right:
self.count_calc1 += 1
if (self.right.left + len(self.right.right)) < self.best:
# this can never help us
continue
self.count_calc2 += 1
self.centre = equidist(p,self.right,radius)
assert abs(self.centre.distance(p)-self.centre.distance(self.right)) < 1
count = 0
for p2 in p.right:
self.count_calc3 += 1
if self.centre.distance(p2) <= radius:
count += 1
if self.best < count:
self.count_calc4 += 4
self.best = count
self.best_centre = [self.centre]
elif self.best == count:
self.count_calc5 += 5
self.best_centre.append(self.centre)
self.draw()
self.frame.update()
time.sleep(0.1)
def draw(self):
self.canvas.delete(ALL)
# draw best circle
for best in self.best_centre:
self.canvas.create_oval(best.x-radius,best.y-radius,\
best.x+radius+1,best.y+radius+1,fill="red",\
outline="red")
# draw current circle
if self.sweep < len(points):
self.canvas.create_oval(self.centre.x-radius,self.centre.y-radius,\
self.centre.x+radius+1,self.centre.y+radius+1,fill="pink",\
outline="pink")
# draw all the connections
for p in points:
for p2 in p.right:
self.canvas.create_line(p.x,p.y,p2.x,p2.y,fill="lightGray")
# plot visited points
for i in xrange(0,self.sweep):
p = points[i]
self.canvas.create_line(p.x-2,p.y,p.x+3,p.y,fill="blue")
self.canvas.create_line(p.x,p.y-2,p.x,p.y+3,fill="blue")
# plot current point
if self.sweep < len(points):
p = points[self.sweep]
self.canvas.create_line(p.x-2,p.y,p.x+3,p.y,fill="red")
self.canvas.create_line(p.x,p.y-2,p.x,p.y+3,fill="red")
self.canvas.create_line(p.x,p.y,self.right.x,self.right.y,fill="red")
self.canvas.create_line(p.x,p.y,self.centre.x,self.centre.y,fill="cyan")
self.canvas.create_line(self.right.x,self.right.y,self.centre.x,self.centre.y,fill="cyan")
# plot unvisited points
for i in xrange(self.sweep+1,len(points)):
p = points[i]
self.canvas.create_line(p.x-2,p.y,p.x+3,p.y,fill="green")
self.canvas.create_line(p.x,p.y-2,p.x,p.y+3,fill="green")
radius = 60
diameter = radius*2
width = 800
height = 600
points = []
# make some points
for i in xrange(0,100):
points.append(Point(random.randrange(width),random.randrange(height)))
# sort points for find-the-right sweep
points.sort(lambda a, b: int(a.x)-int(b.x))
# work out those points to the right of each point
for i in xrange(0,len(points)):
p = points[i]
for j in xrange(i+1,len(points)):
p2 = points[j]
if p2.x > (p.x+diameter):
break
if (abs(p.y-p2.y) <= diameter) and \
p.distance(p2) < diameter:
p.right.append(p2)
p2.left += 1
# sort points in potential order for sweep, point with most right first
points.sort(lambda a, b: len(b.right)-len(a.right))
# debug
for p in points:
print p, p.left, p.right
# show it
root = Tk()
vis = Vis()
root.mainloop()
【讨论】：