以最大利润做某事的动态算法

Question

问题是：想象一个学生有n 的项目和m 小时来做这些项目。他必须管理好自己的时间，才能获得尽可能多的分数。

通过在每个项目上工作 1 小时，他可以抓住不同的要点。
例如，在项目 1 上工作一小时，他可以获得 2 分，如果他在项目 1 上工作两小时，他可以获得 2.25 分。
项目 2 不同 - 在项目 2 上工作 1 小时，他可以获得 1 分，但在项目 2 上工作 2 小时，他可以获得 2.5 分。

另一个例子：

m = 5 和 n = 10。表示有 5 个项目和 10 个小时的时间来做这些项目。

projectnumber  hours to complete   1 hour work  2h work  3h work  4h work    
     1                3                1.5        2        2.25     _
     2                4                0.5        1.75     2        2.25
     3                3                2          2.25     2.5      _
     4                2                1          2        _        _
     5                5                1          2        2.5      3

我能理解的：

经过思考，我明白这就像作业调度，也许解决这个问题的最佳算法是动态规划算法。

首先，您应该考虑项目的第一个小时。并按利润降序排列。

2  1.5  1   1   0.5

在完成项目 3 的第一个小时后，您应该将项目 3 的第二个小时添加到列表中（剩余 9 个小时）。

1.5  1   1   0.5  0.25 (0.25 is for second hour of project 3)

它应该一直持续到你必须完成项目的 10 小时时间结束。

但我确信这个算法有一些问题。其中之一是，也许一个项目的第二个小时会让你抓住一个好点。所以你不能只考虑项目的第一个小时。

有什么建议吗？

Answer 1

您的问题似乎类似于 0-1 背包问题：-

1. 总小时数 m 是背包容量
2. 将每个小时数和对应点数视为物品重量和价值
3. 最大化分数。

0-1 背包问题作为伪多项式时间的 DP 解。

第 N 个项目的问题表述：-

Knapsack(N,M) = max(Knapsack(N-1,M),Knapsack(N-1,M-1)+Points[N][1]+Knapsack(N-1,M-2)+Points[N][2]......)

注意：- Points[N][k] = 在项目 N 上工作 k 小时获得的积分

Knapsack Problem