添加非常小的 Double 值（Java）[重复]答案

【问题标题】：Addition of very small Double values (Java) [duplicate]添加非常小的 Double 值（Java）[重复]
【发布时间】：2017-09-18 10:02:09
【问题描述】：

我想知道，为什么我简单地添加一些双精度值会在 Java 中导致以下结果：

double a = 1 + 1E-10; // 1.0000000001 (as expected)
double b = 1 + 1E-15; // 1.000000000000001 (as expected)
double c = 1 + 1E-20; // 1.0 (why?)

我认为我至少可以添加一个 Double.MIN_VALUE 的值，它似乎是 4.9E-324。

我在这里做错了什么？

【问题讨论】：

“我在这里做错了什么？” - 你忘记了任何浮点数表示的精度问题。
技术性更强一点：在IEEE 754 中，一个有 11 位指数和 53 位尾数。指数定义了数字的大小顺序，而尾数定义了数值。例如，在2.63 x 10^3 中，2.63 是数值，而3 是幅度。如果您添加两个幅度明显不同的值，您可能会遇到问题。精度，这是你观察到的。一般来说，floats 和 doubles 工作得很好，当（大多数）组件的数量级大致相同时。
谢谢@Turing85，但我还是不明白，为什么我可以用Double.MIN_VALUE描述一个很小的值，却不能按预期使用。 :P 仅仅是因为另一个值（在这种情况下为 1）的大小有很大不同吗？
@Thomas 是的。 Double.MIN_VALUE 是 2^-1074，而 1 是 2^0。
@Thomas 如果您知道如何将基数为 10 的表示形式转换为二进制，那么请尝试将 0.3 写入二进制。你会注意到这个表示有一个句点（就像以 10 为底的 1/3），因此你会有一个精度错误。二进制中的0.1 也是如此。在计算0.3 + 0.1 时，舍入误差会被抵消，您会得到预期的结果。在计算0.3 - 0.1 时，错误不会被抵消，您会得到意想不到的结果。然而，这个结果在给定的算术中是正确的。

【解决方案1】：

正如@Turing85 指出的那样，double 有 11 位指数和 53 位尾数。

我们在这里计算的是 1.0 + 1E-20。为了表示这个数字（比 1.0 更精确），我们需要至少 21 个十进制数字的精度或 71 位。这比 double 在尾数中提供的精度更高。

因此，与 1.0 + 1E-20 最接近的可表示 double 数是 .... 1.0。这就是你得到的结果。

欢迎来到浮点运算的神秘世界。

【讨论】：

【解决方案2】：

你在这里没有做错任何事。小数精度的概念就在眼前。浮点数总是有可能出错。而常见的错误值表示为：

- 1/2E-n <= error <=  1/2E-n

其中 n 是您定义的小数位数。

更多关于浮点错误的信息可以在here找到。

【讨论】：