如何准备要由 Delaunay 三角剖分算法处理的球体顶点？

Question

我正在做一个个人项目来创建一个简单的 3D 渲染程序。 到目前为止它可以渲染简单的固体，如立方体、长方体、四面体等......

该程序通过提供一组（CCW 有序）顶点来工作，然后使用 Delanuay 算法对这些顶点进行三角剖分。 我没有使用任何第三方库，所有内容都是从头开始用 VB.NET 编写的……我假设算法已正确实现。

这是为立方体提供顶点的代码（是的，我知道生成的实体的实际长度将是 2 * length）：

Public Shared Function Cube(length As Double) As List(Of Point3d)
    '   G-----F
    '  /|    /|
    ' B-----A |
    ' | H---|-E
    ' |/    |/ 
    ' C-----D

    Dim A As New Point3d(length, length, -length)
    Dim B As New Point3d(-length, length, -length)
    Dim C As New Point3d(-length, -length, -length)
    Dim D As New Point3d(length, -length, -length)
    Dim E As New Point3d(length, -length, length)
    Dim F As New Point3d(length, length, length)
    Dim G As New Point3d(-length, length, length)
    Dim H As New Point3d(-length, -length, length)

    Return New List(Of Point3d) From {A, B, C, D, E, F, G, H}
End Function

对于球体，我想我可以为 XY 平面上的 180° 弧生成一组顶点，然后沿 X 轴旋转该弧。不幸的是，Delaunay 算法似乎创建了一个不符合欧拉封闭曲面公式的无效实体：V - E + F = 2

这是应该为球体生成顶点的代码：

Public Shared Function Sphere(radius As Double) As List(Of Point3d)
    Dim vertices As New List(Of Point3d)
    Dim arc As New List(Of Point3d)
    Dim p As New Point3d(0, 0, 0)
    Dim angleStep As Double = 45.0

    For ca As Double = 0.0 To 180.0 Step angleStep
        arc.Add(New Point3d(radius * Math.Cos((ca - 180.0) * Point3d.ToRad),
                               radius * Math.Sin((ca - 180.0) * Point3d.ToRad),
                               0))
    Next
    vertices.AddRange(arc)

    Dim v As Point3d
    For ax As Double = 0 To 360.0 Step angleStep
        For i As Integer = 0 To arc.Count - 1
            v = arc(i).RotateX(ax)

            Dim isDuplicate As Boolean = False
            For j As Integer = 0 To vertices.Count - 1
                If vertices(j).IsSimilar(v) Then
                    isDuplicate = True
                    Exit For
                End If
            Next
            If Not isDuplicate Then vertices.Add(v)
        Next
    Next

    Return vertices
End Function

有趣的是，如果我将每个顶点的角度步长设置为 90°，程序会如预期的那样生成一个有效的八面体。但是减小角度步长以使球体具有更多面，会产生无效的实体。

所以...问题是：我做错了什么？

更新（2016 年 10 月 10 日）： 我已经在 GitHub 上发布了完整的源代码：https://github.com/morphx666/3DEngine

Answer 1

如果不知道 Delaunay 三角剖分的实现，就很难说出任何事情。但是，仅从标题来看，我怀疑存在稳健性问题。 * 球体上点的情况非常退化。 * 我猜你正在使用浮点运算，不是吗？ 参见 https://hal.archives-ouvertes.fr/inria-00560388/ 以了解 CGAL 库 (www.cgal.org) 处理此类退化的方式。你可以阅读http://www.cgal.org/exact.html关于算术问题。