检查点集三角形细分是否是三角剖分

Question

我一直在研究Delaunay triangulation（不是作业），我想到了以下问题：给定平面上的一组点S（基数为n）和一组三角形T （应该是n-2的基数）——如何确定三角形集T是否形成一个德劳内三角剖分DT(S)？

第一个问题是 Delaunay 三角剖分不是唯一的，因此再次为点集重建它并与三角形集进行比较不会给我们答案。此外，最优的 Delaunay 三角剖分算法很难实现（但是，使用像 CGAL 这样的库就可以了）。

假设我们知道如何检查三角形集是否是三角剖分（不一定是 Delaunay）。那么我们应该使用 Delanuay 三角剖分的定义：对于三角剖分中的每个三角形t，S 中的任何点都严格位于t 的圆周内。这导致我们采用以下方法：

1. 简单的方法。只需遍历T，计算圆周并遍历S，检查点是否在圆周内。但是，这需要O(n^2) 时间，这不是很理想。
2. 魔法方法。同样，遍历T 并计算周长。如果有一点s在圆周内，则表示它到圆周中心的距离小于半径。使用S 上的最近邻搜索结构，我们将加快我们的算法。例如，简单的kd-tree 结构平均会导致我们使用O(n log n) 算法，而在最坏的情况下会导致O(n sqrt(n))。
3. 有人知道更简单的方法吗？

现在让我们回到检查T 是否是三角剖分的问题。 S 的相等性和三角形顶点集等琐碎的前置要求的执行速度不会比 O(n log n) 快。剩下的——检查T 中的每两个三角形是否在一个共同的面上相交，或者根本不相交。

1. 同样，我们可以通过迭代 T 并再次迭代 T 来检查交叉点，但这是 O(n^2) 算法。
2. 让我们想想«三角形t1和t2相交»是什么意思？如果它们的边相交或者如果一个三角形完全位于另一个三角形中，则它们相交。与所有边相交的问题可以在O(n log n) 时间使用Bentley-Ottmann algorithm 解决（最坏的情况是O((n + k) log n)，其中k 是相交的数量，但我们可以在找到第一个路口）。此外，我们没有认识到一个三角形完全包含另一个三角形的情况，但我相信我们可以修改 Bentley-Ottmann 算法以保持三角形穿过扫描线而不是线段，正如我所说，这产生了 O(n log n) 算法。但是，实现起来确实很复杂。
3. 我考虑过迭代算法——让我们保持不相交（或仅通过边相交）三角形的结构（它应该与 kd-tree 非常相似）。然后我们尝试添加下一个三角形t：首先检查t 的任何顶点是否已经在其中一个三角形中——然后我们得到了一个交点。否则，将t 添加到结构中。但是，如果我们希望 O(log n) 或 O(sqrt(n)) 有时间用于搜索和添加查询，我们必须平衡这个结构的高度，这对于 kd-trees 来说也太难了。

那么，有人知道这个问题的简单解决方案吗？

Answer 1

有一个 Delaunay 引理：“如果 S 的三角剖分 K 中的每条边都是局部 Delaunay，则 K 是 S 的 Delaunay 三角剖分”。也许这对您问题第 1 段的情况有所帮助，您可以确定 K 是 S 的某种三角剖分。但不知道这种方法的计算复杂性。