我如何证明这种边缘遍历算法有效？

Question

我遇到了一种算法，它可以找到图形的轮廓，但我无法证明它为什么有效，我有点理解它为什么有效，但我无法推导出我自己在那里使用的公式。

这是算法：

假设我们有一个二值图像（图形为黑色，背景为白色）。所有像素都存储在一个二进制矩阵中，1为白色，0为黑色。

0) 找到第一个黑色像素（例如，如果它是一个正方形，那么它位于左上角）。

1) 设置 Lx = x 和 Ly = y（第一个像素的坐标），并且 Rx = x - 1 和 Ry = y。还要保留 2 个常量 firstX = x 和 firstY = y（我们稍后会需要它们）。

2) 计算 Tx = Rx + Ly - Ry 和 Ty = Ry + Rx - Lx。

3) 执行以下循环：

do {
        if (m[Tx][Ty] == 0) {
            Lx = Tx;
            Ly = Ty;
            m2[Tx][Ty] = 0;
        } else {
            Rx = Tx;
            Ry = Ty;
        }
        if (Lx == Rx || Ly == Ry) {
            Tx = Rx + Ly - Ry;
            Ty = Ry + Rx - Lx;
        } else {
            Ty = (Ly + Ry - Lx + Rx) / 2;
            Tx = (Lx + Rx + Ly - Ry) / 2;
        }
    } while (Tx != firstX || Ty != firstY);

在上面的代码中，m是原始图像，m2是只包含轮廓的图像。

我试图想象它是如何工作的，这就是我得到的：

显然它正在做一些曲折的运动来获得边缘上的零点并确定轮廓。

所以，我的问题是，这是一个已知的算法吗？这些公式究竟是如何得出的：

Tx = Rx + Ly - Ry;
Ty = Ry + Rx - Lx;

和

Ty = (Ly + Ry - Lx + Rx) / 2;
Tx = (Lx + Rx + Ly - Ry) / 2;

?

Answer 1

提示：

在整个执行过程中，R、L 和 T 是直接 8 个邻居（在 Moore 意义上）。

该算法根据 T 处的值重复将 T 分配给 R 和 L 之一，因此 L 始终位于黑色像素上，而 R 始终位于白色像素上。然后它通过围绕 R 旋转 RL 来重新计算 T。

---

暂时假设Rx=Ry=0;那么如果 L 是一个 4-neighbor，(Tx,Ty):=(Ly,-Lx)，则旋转 90°；否则，(Tx,Ty):=((Lx+Ly)/2,((Ly-Lx)/2)，旋转 45°。该规则如下图所示：

---

初始配置在图中左上角，L为第一个黑色像素。给定级数规则，很明显该算法将遵循一条链（8个连接像素的序列）。

其实对于R的一个位置，绕着它旋转L，直到找到一个黑色像素点；然后将 R 移动到该像素。这就是名为Radial Sweep 的过程。

我们可以将其改写为等价形式（在重命名R=B、L=W，并将Rot定义为上面的轮换规则之后。）

B, W= B0, LeftOf(B0)
do
    while Rot(B, W) is White
        W= Rot(B, W)
    B= Rot(B, W)
while B != B0

还有待证明

1. 链关闭（我们将回到起始像素），

2. 它是一个blob的轮廓（链中的每个像素都有黑色和白色的邻居），

3. 没有遗漏像素。

更准确地说，L 遵循内部轮廓，而 R 遵循外部轮廓（而 T 两者都做）。