3D 图像对齐：如何从 matlab 中的 3x3 旋转矩阵中提取关于“静态”x、y、z 轴的旋转角度

Question

我正在使用（作为概述）以下编码方案进行 3D 成像对齐：

ref = imref3d(size(img(:,:,:,1)),[0 32] ,[0 32] ,[0 20] );
[optimizer, metric] = imregconfig( 'monomodal');
tform=imregtform(img(:,:,:,2), ref, img(:,:,:,1), ref, 'rigid', optimizer, metric);
transform_mat=tform.T

为澄清起见，变量 img 是 3D 图像的时间序列（其中每个 3D 图像是 2D 横截面的堆栈）。在不同的时间点，我正在成像的对象可以移动。因此，上述代码的目的是生成几何变换，以最佳方式将 3D 体积的第二个时间点 (img(:,:,:,2)) 与参考图像对齐，参考图像是 3D 体积的第一个时间点 (img(:,:,:,1)) .优化算法最终选择的几何变换输出到对象tform。 tform 包含一个 4x4 矩阵作为其属性之一 (T)；正是这个 4x4 矩阵对平移和旋转信息进行了编码。从上面的代码可以看出，我将这个 4x4 矩阵存储在变量 transform_mat 中。

在阅读了大量零散的 mathworks 文档后，我确定这个 transform_mat 变量（表示仿射刚体变换矩阵）位于“后乘" 形式，据我了解，它只是表示它是传统上线性代数教科书中所见内容的转置版本。

出于我的目的，我有兴趣从transform_mat 中提取特定的轮换信息。这是我到目前为止所做的：

rot_postmultiply=transform_mat(1:3,1:3); %extracting the elements that encode rotation-related info
rot_premultiply=rot_postmultply'; %transposing 

为了快速插入，我创建了旋转矩阵的预乘版本，因为我相信作用于旋转矩阵的许多函数都假定它处于其预乘形式。

从这个 3x3 旋转矩阵中，我想提取旋转（以弧度为单位）关于参考图像的静态 x 轴、y 轴和 z 轴强>。我最初的尝试如下：

eul = rotm2eul(rot_premultiply);

rotm2eul 函数为我提供了与这个 3x3 旋转矩阵相关的 3 个欧拉角。 eul 是一个 1x3 向量，根据文档，“欧拉角旋转的默认顺序是 'ZYX'”。但是，我不确定 欧拉角 是否真的描述了我想要提取的信息（即关于参考图像的静态 x、y、z 轴的旋转）。

我没有很强的线性代数/几何变换背景，但我对欧拉角的理解是，每次发生的旋转都会改变坐标系。例如，在围绕 Z 轴（eul 向量中的第一个值）旋转之后，我们现在有了新 X 和 Y 轴（称为 X' 和 Y'）。那么“Y 轴旋转”（eul 中的第二个值）实际上是围绕 Y' 的旋转...不是 Y。对最终的“X 旋转”重复此参数（即真的会是关于 X'' 轴）。

如果有人能提供一些关于如何进行的见解（如果我对欧拉角的担忧是正确的），我将不胜感激！

另外，如果“static”这个词是不正确的术语，我们深表歉意。希望我提供了足够的上下文，以免引起混淆。

Answer 1

我认为this question 的答案应该可以帮助您：将 3D 旋转分解为笛卡尔分量。

Answer 2

如果我理解正确，您所需要的只是rotm2axang，它将作为正交旋转矩阵rotm 给出的旋转转换为相应的轴角表示axang。输入旋转矩阵必须是旋转的预乘形式。

rot2axang 的输出是一个 n 轴角度旋转的 n×4 矩阵。每行的前三个元素指定旋转轴，最后一个元素定义旋转角度（以弧度为单位）。

如果您无法访问具有该功能的机器人系统工具箱，请考虑使用this alternative。

编辑：

可以通过以下步骤将 3D 空间中的点围绕由两点 (x1,y1,z1) 和 (x2,y2,z2) 之间的连线定义的任意轴旋转角度 alpha：

1. 平移使旋转轴通过原点
2. 围绕 x 轴旋转，使旋转轴位于 ​​xz 平面内（或在 xz 平面上的投影）
3. 绕 y 轴旋转，使旋转轴位于 ​​z 轴（或 z 轴上的投影）
4. alpha 绕 z 轴旋转
5. 步骤 3 的逆操作
6. 步骤 2 的逆操作
7. 步骤 1 的逆操作

您是在询问步骤 2,3 中的角度吗？

否则，您是否已经在您旋转的轴的原点？

如果确实需要步骤 2,3 中的角度，那么：

第 1 步是通过转换矩阵 T 完成的：

T =  [ 1    0   0   -x1
      0     1   0   -y1
      0     0   1   -z1
      0     0   0   1  ];

    

步骤 #2 通过以下方式完成： 假设v = (a,b,c) 是沿旋转轴的单位向量，则d = sqrt(b^2 + c^2) 是投影到yz 平面上的长度。然后旋转旋转轴在 yz 平面上的投影与由单位矢量v 的 z 分量与其 yz 投影的点积给出的 z 轴之间的角度。此角度 (beta) 由以下因素确定：cos(beta) = dot([0,0,c],[0,b,c]) /(c*d) = c/d , sin(beta) = cross( [0,0,c],[0,b,c]) /(c*d) = b/d

因此旋转矩阵Rx为：

Rx = [ 1    0     0     0
       0    c/d  -b/d   0
       0    b/d   c/d   0
       0    0     0     1 ] ;

第 3 步我们绕 y 轴旋转，使旋转轴位于 ​​z 轴的正方向。使用点积和叉积关系，角度的余弦为d，角度的正弦为a。绕y轴Ry的旋转矩阵为

Ry = [ d    0   -a  0
       0    1   0   0
       a    0   d   0
       0    0   0   1];

最后，我们简单地围绕 z 旋转角度alpha

Rz = [ cos(alpha)   sin(alpha)  0   0
      -sin(alpha)   cos(alpha)  0   0
       0            0           1   0
       0            0           0   1 ] ;