为什么使用幅度方法来获取处理后的图像？

Question

大家好，我正在考虑这个问题：

我知道我们使用傅里叶变换进入频域来处理图像。

我读过教科书，上面说当我们在傅里叶域中处理完图像后，我们必须将其反转回来才能得到处理后的图像。

而教科书教导了求逆的实部。

但是，当我通过the OpenCv tutorial时，无论是使用OpenCV还是NumPy版本，最终他们都会使用magnitude（用于OpenCV）或np.abs（用于NumPy）。

对于 OpenCV，逆向返回包含实部和虚部的两个通道。当我取逆的实部时，我得到了一个完全奇怪的图像。

愿有人知道这一切背后的含义：

1. 为什么要使用magnitude 或abs 来获取处理后的图像？

2. 教科书的教学有什么问题（取逆的实部）？

Answer 1

教科书是对的，教程是错的。

A real-valued image has a complex conjugate symmetry in the Fourier domain。这意味着图像的 FFT 将具有特定的对称性。如果您希望逆变换保持实值，您所做的任何处理都必须保持这种对称性。如果你做错了这个处理，那么逆变换将是复值，并且可能没有意义。

如果您在傅立叶域中正确保留对称性，则逆变换的虚部将几乎为零（由于数值不精确，可能与零不同）。丢弃这个虚构的组件是正确的做法。计算幅度将产生相同的结果，除了所有负值都将变为正值（请注意，某些过滤器旨在产生负值，例如导数过滤器），并且计算成本增加。

例如，卷积是傅里叶域中的乘法。傅里叶域中的滤波器必须是实值并且围绕原点对称。人们经常会混淆原点在傅立叶域中的位置，并乘以一个看似对称的​​滤波器，但实际上相对于原点发生了偏移，使其不对称。这种转变引入了逆变换的相位变化（参见shift property of the Fourier transform）。逆变换的幅度不受相位变化的影响，因此获取该逆变换的幅度会产生看起来不错的输出，除非您希望在滤波器结果中看到负值。正确理解 FFT 算法，在傅里叶域中创建适当对称的滤波器，并简单地保留逆变换的实部会更好。

尽管如此，一些滤波器是专门为打破对称性而设计的，并产生复值滤波器输出。例如Gabor filter 有一个偶数（对称）分量和一个奇数（反对称）分量。偶数分量产生实值输出，奇数分量产生虚值输出。在这种情况下，感兴趣的是复数值的大小。同样，a quadrature filter 专门用于生成复值输出。从这个输出中，the analytic signal（或其多维扩展，单基因信号），幅度和相位都是有意义的，例如用于边缘检测的phase congruency 方法。

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看链接教程，是行

fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0

生成傅里叶域滤波器并将其应用于图像（相当于乘以具有 1 和 0 的滤波器）。本教程正确计算傅立叶域的原点（尽管对于 Python 3，您将使用 crow,ccol = rows//2 , cols//2 来获得整数除法）。但是上面的过滤器不是围绕那个原点对称的。在 Python 中，crow-30:crow+30 表示原点左侧 30 像素，右侧仅 29 像素（不包括右边界！）。正确的过滤器是：

fshift[crow-30:crow+30+1, ccol-30:ccol+30+1] = 0

使用此过滤器，逆变换是纯实数（虚数分量的值按1e-13 的顺序排列，即数值误差）。因此，现在可以（并且正确）将img_back = np.abs(img_back) 替换为img_back = np.real(img_back)。