找到数组中最大下降的算法答案

【问题标题】：Algorithm to find the largest drop in an array找到数组中最大下降的算法
【发布时间】：2013-02-07 19:34:08
【问题描述】：

我有一个算法问题：

给定一个大小为 N 的数组（假设所有元素都是整数），找到最大的下降（不一定是连续的）：max{array[i]-array[j]} 有一个约束：i>j。

简单的解决方案是两个循环，遍历i和j的所有可能值，但时间复杂度为O(n*n)。

我认为一个改进的解决方案是首先映射数组的索引，对数组进行排序并遍历数组以找到最大的下降。这个复杂度是 O(nlogn)。

有线性时间复杂度的解决方案吗？怎么做？

PS：我曾经想过一个线性的解决方案：创建两个额外的数组，一个是记录给定数组从头到尾的最大值，另一个是从尾到头的最小值。然后，经过两个数组一关。但是，有人认为这不正确并且占用了太大的空间。所以我想知道一个更好的解决方案。 ——李娟流

【问题讨论】：

啊，课程作业中的一个问题。你不应该更好地自己解决这个问题吗？
@arkascha：我曾经想过一个线性解决方案：创建两个额外的数组，一个是记录给定数组从头到尾的最大值，另一个是从头到尾记录最小值结束到开始。然后，通过两个数组一次。但是，有人认为这不正确并且占用了太大的空间。所以我想知道一个更好的解决方案。
你没有明白我的意思 ;-)
很难假设这个问题是针对家庭作业的。这是一个相对常见的编码挑战问题，也是展示巧妙算法设计如何显着提高运行时间的经典示例。

标签： arrays algorithm

【解决方案1】：

我只能想到 O(nlogn) 但这一个即使相同的复杂性应该比排序和找到最大的下降更快。

您可以做的是计算 O(n) 中连续数字的差异，然后问题将简化为找到连续子数组的 MAX(sum)，即 O(nlogn)

【讨论】：

当 i+1 和 j 之间有 k 且 array[k] > array[k-1] 时，这不起作用
是的，因为您可以添加 (-) 数字并减少总和。这就是为什么它是 O(nlogn ) 而不是 O(n) 你需要遍历整个数组。说真的，为什么会投反对票？

【解决方案2】：

您需要跟踪两件事：

您似乎到元素 i 的最大数量，以及相对于最大数量的最大下降（即 i 之前的最大数量，减去元素 i）。这将是时间上的 O(n) 和空间上的 O(1)。

这个问题正是“股票买卖”的面试题，解决方法可以在这里找到：Maximum single-sell profit

【讨论】：

是的，这个链接很有用。

【解决方案3】：

新建2个数组：

max[i] = max { arr[0], arr[1], ..., arr[i] }
min[i] = min { arr[n-1], arr[n-2], ..., arr[i] }
(max is the maximum from first to i, min is the minimum from i to last)

现在，迭代辅助数组并找到最大差异max[i] - min[i]

这需要 3 次迭代，因此是 O(n)。

正确性证明（准则）：

让最大的下降是从索引i 到索引j，其中i<j：

然后，max[i] >= arr[j]（因为我们已经通过了），还有 min[i] <= arr[i] - 因此max[j] - min[j] >= arr[i] - arr[j]，和算法提供的答案至少和最佳。
另外，由于降幅最大的是i,j，所以不可能有k<j 这样arr[k] < arr[i]，因为那时最大的下降将是从arr[k]到arr[j]。相似之处 - 不能有 k>j 这样 arr[k] < arr[j]，出于同样的原因 - 因此max[j]-min[j] <= arr[i] - arr[j]

从上面我们可以得出结论max[j]-min[j] = arr[i] - arr[j]。剩下的就是一个正式的完整证明，证明对于每个k，你得到max[k]-min[k] <= max[j] - min[j]，情况确实如此，否则有一些u<k，v>k，这样max[k]=arr[u], min[k]=arr[v]，你就明白了arr[u] - arr[v] > arr[i] - arr[j]，这与 i,j 是最大跌幅的事实相矛盾。

QED

【讨论】：

@lijuanliu 是的，O(n) 额外空间
我有个想法，辅助数组够不够？（只保留“min”数组）
@lijuanliu 基本上你可以修改方法，从最后一个到第一个，记住最小值，并为每个元素检查arr[i]-min >= max_so_far - 如果是，它是新的最大值。不难看出，其实是之前O(n)空间版本的O(1)空间优化，证明会很相似。

【解决方案4】：

public static int maxDrop(int[]array){

    int maxDrop =0,drop=0,min=array[0];

    for(int i=1;i<array.length;i++){

        if(array[i]<min){
            min=array[i];
        }

        drop = array[i]-min;

        if(drop>maxDrop){
            maxDrop=drop;
        }

    }

    System.out.println(maxDrop);
    return maxDrop;

}

【讨论】：

我认为有一个bug：对于输入{ 5, 21, 3, 22, 12, 7, 26, 14}，上面的代码返回23而不是18。

【解决方案5】：

O(n) 没有额外空间的解决方案：

public int maxDrop(int[] a) {
    int max = a[0];
    int maxDrop = -1;
    for (int i = 0; i < a.length; i++) {
        if (max < a[i]) {
            max = a[i];
        }
        else {
            int drop = max - a[i];
            maxDrop = Math.max(maxDrop, drop);
        }
    }
    return maxDrop;
}

【讨论】：