我需要在给定的圆（或曲线）上找到一个或多个点，使 d0+d1 最小化？曲线的半径和中心分别是 (0,0) 和 'r' 并且点 A 和 B 的坐标是已知的。假设 A=(x1,y1) 和 B=(x1,-y1) 和 r> sqrt(x1^2+y1^2) 。 C 是圆的未知点，应该最小化长度 d0+d1 d0 - 圆上 A 到 C 之间的距离 d1-圆上B到C的距离
点 C 沿圆移动。我需要在给定的圆（或曲线）上找到一个或多个点，使 d0+d1 最小化？
【问题讨论】：
标签： optimization distance geometry curves
如果线 AB 与圆相交，那么 C 就是那个交点（注意，可以有两个交点，并且两者的距离相等 d0+d1 ！）。
如果 AB 不与圆相交，则 C 是圆上的点，与离圆心最近的 AB 线上的点相交的假想线。
网上有很多关于如何在一条直线上找到离另一个点最近的点，以及如何找到两条线的交点的文章，这将解决第二种情况。对于第一种情况，您可以谷歌“线圆交点”
【讨论】：
A 和B 的线段完全位于圆外，当且仅当圆的中心距A 与距@ 的距离相等时，最接近线段的点使距离之和最小化987654327@。然而，在这个问题上，情况确实如此。但是线段完全位于圆内，这使得在这种情况下事情变得更加复杂。
一般情况很复杂，但特殊情况
A=(x1,y1)和B=(x1,-y1)和r > sqrt(x1^2+y1^2)
以圆心为原点的圆具有足够的对称性，至少在某些情况下可以使解决方案变得可访问。我假设A ≠ B，（相当于y1 ≠ 0），否则这个问题对于一个圈子来说是微不足道的。
让dist(P,Q) 是点P 和Q 之间的欧几里得距离。连接A 和B 的（闭合）线段是点P 与
dist(P,A) + dist(P,B) = dist(A,B)
对于D > dist(A,B)，点的轨迹与
f(P) = dist(P,A) + dist(P,B) = D
是一个椭圆E(D)，其焦点是A和B。设P 为圆上的一个点，D = f(P)。
P 中圆和椭圆E(D) 的切线不重合，则P 既不是局部最小值也不是局部最大值f 仅限于圆。李>
P 中E(D) 的曲率，则P 是限制在圆内的f 的孤立局部最大值。P 中E(D) 的曲率，则P 是限制在圆内的f 的孤立局部最小值。P中E(D)的曲率，则
P 是f 的孤立局部最小值，如果dist(P,A) = dist(P,B) 限制在圆圈内，P 既不是局部最大值，也不是 f 的局部最小值，否则仅限于圆圈。首先，如果x1 = 0，很容易看出（如果几何上不明显）最小化f的圆上的点是x坐标为0的点，即P1 = (0,r)和@ 987654363@。 [如果r² ≤ x1² + y1²，那甚至是真的。]
现在，假设x1 ≠ 0，不失一般性x1 > 0。那么很明显，圆上最小化f 的点P = (x,y) 必须有x > x1。根据情况的对称性，点R = (r,0) 必须是局部最小值或局部最大值f 限制在圆内。
计算f 在R 附近的行为，发现R 是局部最小值当且仅当
r ≥ (x1² + y1²) / x1
由于R 是E(f(R)) 的最小曲率点（R 到E(f(R)) 的切线与圆重合），因此R 也是全局最小值。
如果r < (x1² + y1²) / x1，则R 是限制在圆内的f 的局部最大值。然后f 在圆上有两个全局最小值，具有相同的 x 坐标。不幸的是，我没有一个很好的公式来计算它们，所以我无法提供比迭代搜索更好的方法。
【讨论】：