生成具有特定秩和基数的随机矩阵答案

【问题标题】：Generate random matrix with specific rank and cardinality生成具有特定秩和基数的随机矩阵
【发布时间】：2014-10-24 20:49:31
【问题描述】：

我想生成一个矩形矩阵A，其条目在闭区间[0,1]，满足以下性质：

(1) size(A) = (200,2000)
(2) rank(A) = 50
(3) nnz(A) = 100000

如果A 中的非零元素会呈指数衰减，或者至少呈多项式衰减（我希望小值多于大值），那将是最好的。显然（我认为...），最终归一化为[0,1] 并不是这里的主要问题。

我尝试过的方法不起作用：

首先使用A=abs(randn(200,2000)) 和阈值生成一个随机矩阵
```
th = prctile(A(:),(1-(100000/(200*2000)))*100);
A = A.*(A>th);
```
现在(3)的属性已经满意，我降低了排名
```
[U,S,V] = svd(A);
for i=51:200 S(i,i)=0; end
A = U*S/V;
```
但是这个矩阵几乎有完整的基数（我失去了属性(3)）。
首先使用A=rand(200,50)*rand(50,2000) 生成具有指定秩的矩阵。现在满足(2) 的条件，我像以前一样设置了阈值。直到现在我失去了财产(2)，因为矩阵几乎是满秩的。

那么...有没有办法确保同时满足 (2) 和 (3) 两个属性？

附：我希望矩阵中的非零条目以某种随机/非结构方式分布（仅制作 50 个非零列或行不是我的目标......）。

【问题讨论】：

我不确定非零模式能有多“随机”。如果您有 200 行，排名为 50，则基本上有 50 种不同的模式，每个模式重复大约 4 次。
好吧，这是一个有趣的评论...我可以生成 50 个随机行 r_i 与 ~500 非零条目，并为矩阵的每一行随机选择 i。这不是我的目标，但总比没有好。

【解决方案1】：

这满足所有条件，概率很高：

A = zeros(200,2000);
A(:,1:500) = repmat(rand(200,50),1,10);

然后，如果需要，您可以对非零列进行混洗：

A = A(:,randperm(size(A,2)));

矩阵具有垂直结构：在 500 列中，所有元素都不为零，而在其余 1500 列中，所有元素都为零。（不确定这是否适合您的目的）。

【讨论】：

【解决方案2】：

简单的方法：

>> A= rand(200,50);
>> B= zeros(200,1950);
>> A = [A B];
>> A = A(:,randperm(size(A,2)));
>> rank(A)

ans =

    50

>> nnz(A)

ans =

       10000

【讨论】：