最优子结构和贪心选择

Question

我正在阅读贪婪问题的两个属性，我试图了解以下两者之间的区别：-

• 最优子结构属性：最优全局解包含其所有子问题的最优解。
• 贪婪选择属性：通过贪婪选择局部最优选择可以获得全局最优解。

这两个不是等价的吗？两者看起来是一回事；你能给我一个满足最优子结构但不满足贪婪选择的例子吗？以及满足贪心选择但不满足最优子结构的例子？

Answer 1

对于可能不熟悉顶点覆盖或动态规划的未来读者来说，这些定义的措辞确实使它听起来很相似。

我认为改写贪心选择的一个有用方法是，最优解总是包含贪心算法选择的第一选择，尽管它不一定是说最佳解决方案**->这就是它们不同的原因，因为尽管某些东西可能是最佳的并显示了贪婪的选择属性，但您还没有证明在每一步都制定了当前的最佳解决方案。在加权图上思考Prim's MST：您可以从任何顶点开始，但这意味着算法可以在每一步为这两个解决方案选择不同的边，但它们总是从任何给定的顶点中选择权重最低的边，因此它们有贪心选择属性。但是你还没有证明每一步的整个解决方案都是绝对最优的，只是选择了最贪婪的选项。

这就是它们不同的原因，虽然贪婪选择可以导致最优子结构，但并不能证明它具有最优子结构。证明最优子结构的常见论据是交换论据和保持领先论据，它们建立在算法显示贪婪选择属性的知识之上。

Answer 2

它们不等价：

假设我们想在树中找到最小的顶点覆盖，其中每个节点都有一个成本（覆盖的成本是这个覆盖中所有节点成本的总和）。这里可以使用动态规划：f(v, taken) 是覆盖以v 为根的子树的最小成本，v 在封面中，f(v, not taken) 是在不占用@987654325 的情况下覆盖此子树的最小成本@。最优子结构属性是正确的，因为我们可以最优地解决子问题（即为每个子树找到一个最优解），然后将它们组合起来找到全局最优解。然而，贪心选择属性在这里并不成立：选择成本最小的顶点直到所有边都被覆盖并不总是产生最佳结果。

如果无法定义子问题是什么，贪心选择属性可能成立，但最优子结构属性不成立。例如，霍夫曼码构造算法总是合并两个最小的子树（并产生一个最优解），所以它是一个贪心算法，但不清楚子问题是什么，所以说第一个没有多大意义财产。