我正在编写一些动态编程的复习材料。我需要想出应该如何划分子问题，计算出基本情况，并想出递归公式。
给定 n 个正整数 a1,a2,...,an，一个数 k 和一个目标 W，我们想要选择一个子集 T，其中恰好有 k 个元素的和最接近 W。每个元素只能选择一次.用 3 个参数定义一个子问题（即 C[x,y,z] = ...）。
我只使用过几个动态编程示例，从未使用过需要 3 个参数来定义子问题的示例。我真的迷路了。如果有人能发光，那就太好了。
我对子问题应该是什么的最佳猜测是：
C[x,y,z] = {a1,...ay} 中的 x 个元素，其中总和正好是 z
但我不知道这是否正确。
【问题讨论】：
标签： algorithm dynamic-programming
在这种情况下，我会让 C(x,y,z) 是一个布尔值，表示是否可以使用来自 {a1 ... ax} 的恰好 y 得到恰好 z 的总和。
虽然不是完全相同的问题Wikipedia，但有各种类似问题的动态规划解决方案并附有解释。也许这会给你一些想法。
【讨论】：
将其分解为三个参数的一种方法是：
x: maximum index of item considered for inclusion in subset
n: number of items in subset
s: sum of subset
基本情况是 C[0,0,0] = true, C[0,i > 0,j > 0] = false
递归情况是：
C[i,n+1,s+a_i] = C[i-1,n,s] // use item i
C[i,n,s] = C[i-1,n,s] // dont use item i
这使用空间 O(n^2 * max(a_i))（可以通过丢弃 C[i,,] 来减少到 O(n*max(a_i)） )
然后只需在 C[n,i,j] 中搜索 z 附近的 j 即可获得最终答案。
作为一个循环...
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
C[i,n+1,s+a_i] ||= C[i-1,n,s];
C[i,n,s] ||= C[i-1,n,s];
}
作为递归函数：
bool C(int maxindex, int size, int sum)
{
if (memoize(maxindex, size, sum))
return cached;
if (maxindex == 0)
return (size == 0 && sum == 0);
return
C(maxindex-1, size-1, sum - A[maxindex]) || // version using A[maxindex]
C(maxindex-1, size, sum); // version not using A[maxindex]
}
【讨论】：