如何在联合查找数据结构上实现 FindMin(x) 操作？

Question

S 表示从 1 到 n 的整数集合。考虑 union-find 数据结构，其中 - 除了操作 union(A, B) 和 find(x) - 您对返回 x 所属集合的最小元素感兴趣。

建议一种数据结构，使您可以有效地实现这些操作并分析 m find、p findMin 和最多 (n - 1) 个联合的序列的运行时间。

我知道我应该以某种方式对 x 所属的集合的元素进行排序（所以，我首先找到集合，然后对它进行排序，这应该花费 O(nlogn) 加上查找操作使用的时间，这取决于数据结构...）。我应该使用具有平衡联合和路径压缩的联合查找吗？对不起，我很困惑！

Answer 1

您需要做的就是将最小元素存储在分离集的根中。

要实现这一点，你只需要修改 Union() 以便在合并 2 个集合后，它也会更新不相交集合的最小元素。

所以所有操作仍然是 O(log n)（如果使用路径压缩或按秩联合）

甚至 O(inverse_ackerman)（如果同时使用两种优化）

伪代码（仅使用路径压缩，所以所有操作都是 O(log n)）：

const int N = 10;

int P[N+1]; //stores parent of each set, initially all elements set to -1 to indicate no parent
int Min[N+1];//stores min element of each set

int Find(int u)
{
    return P[u] < 0 ? u : P[u] = Find(P[u]);
}

void Union(int u, int v)
{
    u = Find(u);
    v = Find(v);
    if(u == v)return;
    Min[u] = Min[u] < Min[v] ? Min[u] : Min[v]; 
    P[v] = u; 
}

int FindMin(int u)
{
    return Min[Find(u)];
}