使用斐波那契数列的递归函数答案

【问题标题】：Recursive Functions Using Fibonacci Series [closed]使用斐波那契数列的递归函数
【发布时间】：2014-01-05 06:01:03
【问题描述】：

我正在自学 C++，来自 Sams Teach Yourself C++ In One Hour A Day，在第 150 页，作者使用斐波那契数列讨论了递归函数。

他使用以下代码：

#include <iostream>
using namespace std;

int GetFibNumber(int FibIndex)
{
    if(FibIndex < 2 )
        return FibIndex;
    else
        return GetFibNumber(FibIndex - 1) + GetFibNumber(FibIndex - 2);
}

int main()
{
    cout << " Enter 0 based index of desired Fibonacci Number: ";
    int Index = 0;
    cin >> Index;

    cout << " Fibonacci number is: " << GetFibNumber(Index) << endl;

    return 0;

}

有什么区别

return GetFibNumber(FibIndex - 1) + GetFibNumber(FibIndex - 2);

和

返回 FibIndex - 1 + FibIndex - 2;

为什么一定要在内部调用函数？

提前感谢您！

【问题讨论】：

能否请您提供一个您所做的示例并更清楚地解释您的问题。
第 9 行现在读到了什么？如果没有这两个函数调用，它将无法计算斐波那契数列。
请看一下斐波那契数列是什么en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number 没有最后一个GetFibNumber(FibIndex - 1) + GetFibNumber(FibIndex - 2) 计算是错误的。
@bkausbk 是的，我知道这一点。我只是删除了您刚刚复制和粘贴的行中的“GetFibNumber”。
@JOG-Design：只要输入参数 FibIndex 很小（

标签： c++ recursion fibonacci

【解决方案1】：

使用不使用递归的版本是不正确的。它只会正确计算前几个斐波那契数。尝试使用这两个版本计算前 10 个斐波那契数，您会发现这两个版本计算了两个不同的序列。

【讨论】：

【解决方案2】：

函数GetFibNumber 计算斐波那契数列中的第 N 个数。如果您只是看一下http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number 上的解释，它是通过将斐宾那契数列中的 Nth-1 和 Nth-2 数字相加来计算的。这正是该函数的作用。您为函数提供要计算的斐波那契数列中的索引（假设为 6；结果应该为 8）。

要计算斐波那契数列中的第 6 个元素，您需要将第 5 个和第 4 个元素相加。所以你首先需要计算这些。这就是递归介入的地方。你可以让函数自己调用；但现在不是使用值 6 作为参数再次调用它，而是使用 5 和 4。这将再次导致同样的问题（您需要通过添加元素 4 和 3 来计算第 5 个元素）等等。

使用递归函数，您可以简单地重复使用代码来一遍又一遍地执行相同的计算，直到达到某个点，您可以得到计算的答案（在这种情况下，如果 N = 1 或 N = 0 ; 这些情况将导致 1).

【讨论】：

【解决方案3】：

我建议，因为您仍在学习，所以既可以递归地编程（就像作者所做的那样），也可以使用循环（while，for）。它很可能会向您展示如何构建此算法的答案。

提示 1：您必须知道斐波那契数列是建立在两个初始值之上...

提示 2：对于递归，您应该知道函数结果是如何存储的。这也将解释您的问题。

【讨论】：

【解决方案4】：

你问：“为什么你必须在内部调用函数？”好吧，严格来说，你没有。

Fibonacci sequence 是这个数学递归定义的数字序列：

a₀ = 0
a₁ = 1
a_n = a_n-1 + a_n-2

原始函数确实计算了这个序列，尽管效率低下。如果Index 为 0，则返回 0；如果为 1，则返回 1。否则返回 GetFibNumber(Index - 1) + GetFibNumber(Index - 2)，这正是数学定义。对于序列的每个元素，您必须将序列中的前两项相加。

您的代码只返回Index - 1 + Index - 2，这将给出不同的数字序列。比较：

斐波那契：0、1、1、2、3、5、8、13、21、36...
你的：0、1、1、3、5、7、9、11、13、17...

但除此之外，您并不严格需要递归函数来计算此数学递归。您只需要一个简单的for 循环：

int GetFibNumber(int FibIndex)
{

    if(FibIndex < 2 )
        return FibIndex;

    int a_n_2 = 0, a_n_1 = 1, a_n;

    for (i = 2; i < FibIndex; i++)
    {
        a_n = a_n_1 + a_n_2;
        a_n_2 = a_n_1;
        a_n_1 = a_n;
    }

    return a_n;
}

这种方法也会更快。

代码递归技术在数学上是正确的。然而，它比较慢，因为它不重用任何计算。它通过重做递归一直返回到 a₁ 来计算 a_n-1。然后它计算 a_n-2，而不重用任何生成 a_n-1 的工作。如果你考虑到递归的每一步都发生了这种缺乏重用，你会看到 running time grows exponentially for the recursive function. 它在 for 循环中线性增长。

_{高级主题：有一种方法可以使递归版本运行得更快，这对于了解您是否遇到最容易递归定义的编程问题非常重要。一旦您对 C++ 更加熟悉，请查找 memoization。记忆递归斐波那契给出线性的最坏情况运行时间，以及重复查找的恒定运行时间（假设备忘录查找本身是 O(1)）。}

【讨论】：

大声笑，知道他不必再像我建议的那样编写迭代程序了 :)
@RvdV79 ：我想我们中的几个人都同时回答了这个问题。有时，我认为这样的问题是罗夏测验。 ;-)

【解决方案5】：

它们不是等价的，它肯定不会计算斐波那数序列。递归可以被认为是一棵树，所以要计算 Fib(8)，根据定义，我们取 Fib(7) + Fib(6)

        Fib(8)
        /    \
    Fib(7)   Fib(6)

这又需要计算 Fib(6), Fib(5), Fib(4) 如下：

                 Fib(8)
               /        \
          Fib(7)       Fib(6)
        /        \    /      \
     Fib(5)   Fib(6) Fib(5)  Fib(4)

等等。你在做什么，会产生一个不同的、深度为 1 的树：

    Fib(8)
    /    \
   7      6

因为，如果你从不在函数内部调用函数，它就永远不会更深入。从这个和其他答案中应该清楚为什么它不正确。

【讨论】：