计算“在矩阵中从左上角移动到右下角的方法数”的递归和动态解的时间复杂度

Question

有一个m*n 矩阵，我们需要找到从左上角到右下角的所有可能路径。 只能沿右下方向遍历。

我有以下疑惑：

1. 在递归方法中，我知道时间复杂度将为 O(2^(m+n))。如何使用归纳法获得它？

2. 如何找到动态规划解决方案的复杂性？

Answer 1

对于第一个没有记忆的问题：

1) 在递归方法中，我知道时间复杂度为 O(2(m+n))。如何使用归纳法获得它？

当我们在一棵二叉树中表示递归函数的连续调用时，在每一层k 代表k^th 移动——0 代表二叉树的根，起始位置 — 该函数在k + 1^th 楼层进行两次新的递归调用。此外，如sachas's answer 中所述，所有路径都会有m-1 水平移动和n-1 垂直移动。因此有(m-1)(n-1) 楼层，每个可能的k^th 移动一个。

那么，因为：

• 每个楼层有 2^k 个呼叫，
• 每个楼层的电话都加起来，
• 共有(m-1)(n-1)层，

因此有 2⁰ + 2⁰ + ... + 2^{(m - 1)(n - 1)} = 2 ^{(m - 1)(n - 1) + 1} - 函数调用1次（按几何数列求和公式），递归函数时间复杂度O(1)，则复杂度为O(2^{(m - 1)(n - 1) + 1}) = O( 2^mn)。结果就是这样。

Answer 2

在动态编程中，您尝试填充数组 dp[i][j] 其中 dp[i][j] 表示到达单元格的方式数（i ,j) 从左上角的单元格。还有 dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j] ，（避免 i=1 或 j=1 的极端情况） .所以总的来说，你必须用 n*m 条目填充 dp 表，每个条目取决于恒定数量的条目（最多 2 个）dp[i-1][j]强> 和 dp[i][j-1]。因此复杂度将是 O(2*n * m)，即 O(n*m)。

其次，如果我们不做 dp 或 memoization（可以 goole 它）并递归地做，那么你基本上是在找到计数的同时跟踪所有可能的路径。因此复杂性将是从左上角单元格到右下角的路径数。所有路径都会有 m-1 水平移动和 n-1 垂直移动。因此路径数变为 (m+n-2)！ / ( (m-1)! * (n-1)!)。这是复杂性，而不是您建议的指数。