仅向下或向右移动时从 MxN 网格的左上角到右下角的方法数。什么是时间和空间复杂度？

Question

问题：在 MxN 网格中从左上角到右下角找到多种可能的方式，而你只能向下或向右移动。

这是我编写的两种算法。结果看起来不错，但我无法计算出时间和空间的复杂性，我对可能的复杂性有一些猜测，但我无法以“正确”的方式证明它们。

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朴素算法：

    function gridTravel(m, n) {
      if(m<1 || n<1) return 0;
      if (m === 1 || n === 1) return 1;
      return gridTravel(m-1, n) + gridTravel(m, n-1);
    };
    console.log(gridTravel(10,10));

我的猜测：

• 空间复杂度 - O(n+m)？可能的最长调用堆栈似乎是“线性”扩展的，因此假设一些近似值将是 O(n+m)，但我无法真正证明或反驳它。
• 时间复杂度是指数级的，因为每个位置可以创建 2 个新位置 - O(2^n) 或 O(2^n+m)，不确定哪个更合适。

                   m:n
        m-1:n                m:n-1
    m-2:n  m-1:n-1     m-1:n-1   m:n-2

但同样，我对这个解释没有信心，因为它不是对称树，它只是一开始的样子。

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朴素算法 + 记忆：

    seenGrids = {};
    const gridTravel = (m, n) => {
      if(m<1 || n<1) return 0;
      if (m === 1 || n === 1) return 1;
      if (`${m}:${n}` in seenGrids || `${n}:${m}` in seenGrids) {
        return seenGrids[`${m}:${n}`] || seenGrids[`${n}:${m}`];
      }
      seenGrids[`${m}:${n}`] = gridTravel(m-1, n) + gridTravel(m, n-1);
      return seenGrids[`${m}:${n}`];
    };

我的猜测：

• 空间 - O(n*m)？调用堆栈似乎仍然是线性的，但现在我们有了这个不断增长的对象seenGrids，根据我的直觉，它应该以二次方式缩放吗？我不知道如何证明或反驳它，当我为200x200 网格运行console.log(Object.keys(seenGrids).length) 时，我得到19900，它既不是m*n 也不是m+n，所以它是线性的还是二次的？
• 时间 - O(n*m)？ - 这对我来说是最难缠的。它不再是指数级的，因为由于保存了答案，很多子树都被跳过了，但我不知道如何以“正确”的方式推导时间复杂度。

Answer 1

第一个算法：

对于时间复杂度，最简单的证明就是你的方法！我的意思是递归函数的计算树。可以看到，展开有一个二叉树，树的最大长度为min(n,m)。因此，时间复杂度在O(2^(min(m,n)))。

对于空间复杂度，正如您所指出的，堆栈的计算将以深度优先的方式完成。因此，由于每个节点的最大分支为 2，树的最大长度为min(m,n)（如上一段所述），空间复杂度将为2 min(m,n)。

第二种算法：

由于输入的最大不同组合为m * n（函数的第一个和第二个输入分别为[1, 2, ..., m]和[1, 2, ..., n] )，堆栈调用的最坏情况在O(min(m, n))，空间复杂度在O(m * n)，也就是内存数组的大小。

对于时间复杂度，我们可以确保数组的每个元素都会被计算一次（因为它是被记忆的）。因此，与递归回调的复杂度无关，并且由于递归的深度优先计算（自下而上），第二种算法的时间复杂度为O(m * n)。