带循环的递归函数的时间复杂度答案

【问题标题】：Time complexity of recursive function with a loop带循环的递归函数的时间复杂度
【发布时间】：2022-01-26 06:18:27
【问题描述】：

以下函数的时间复杂度是多少？

int f = (int n) => {
  if (n === 1) {
    return 1;
  }

  for (let i = 0; i < n; i++) {
    console.log(i);
  }

  return f(n-1) + f(n-1)
}

这就是 递归树 的样子，i 表示深度：

                   f(4)                         // i = 0
                  /    \
                /        \
              /            \
            /                \
          /                    \
        f(3)                  f(3)              // i = 1
       /   \                  /   \
     /       \              /       \
   f(2)      f(2)         f(2)      f(2)        // i = 2
  /   \     /   \        /   \     /   \
f(1) f(1) f(1) f(1)    f(1) f(1) f(1) f(1)      // i = 3

如果函数内部没有循环，时间复杂度将是O(2^n)。但是现在有一个循环：

在每个深度，进行的函数调用次数为2 ^ i，并且在每个函数调用n - i 中，迭代都在循环中完成，因此在每个级别上都进行了(2 ^ i) * (n - i) 操作。因此，时间复杂度可以计算为：

T(n) = [(2 ^ 0) * (n - 0)] + [(2 ^ 1) * (n - 1)] + [(2 ^ 2) * (n - 2)] + ... + [(2 ^ (n - 1)) * (n - (n - 1))]

那么我说得对吗？最终的时间复杂度可能是多少？

【问题讨论】：

您确定提供的代码是 C++ 而不是 JavaScript？
每个函数调用都需要线性时间，所以大概是 2^n 乘以 n。
@kiner_shah：可能不会。
你有正确的时间复杂度方程。您只需将其插入 wolfram alpha 即可获得答案：wolframalpha.com/input/?i=sum%282%5Ei%28n-i%29%2C+i%3D0..n%29。手动计算，sum(i*2^i) 可以计算为x * d/dx(sum(x^i) 在 x=2 处求值。您需要注意我在此评论中省略的总和的限制。
递归关系的老派方法是猜测答案然后证明它。当您必须猜测时，您可以使用 wolfram alpha 替换该部分（这通常需要解决您拥有的特定类型的方程的经验，或者努力绘制数字并以这种方式了解答案）。完成后，您仍然拥有有效的证明！

标签： algorithm loops recursion time-complexity

【解决方案1】：

你是对的，日志调用的数量是由循环驱动的

T(n) = C1 n + C2 + 2 T(n-1)

T(1)=C3.

我们可以猜到解的形式是这样的

T(n) = A 2^n + B.n + C

并通过识别，

T(n) = A 2^n - C1 n - C2 + C1.

最后，

T(1) = 2 A - C2 = C3

给A。

【讨论】：

你确定它只有 2^N 吗？如果方程是 T(n) = C2 + 2 T(n-1) 它已经是 2^N，但是这里我们有一个额外的 N 项。
@unlut：这是一个错字。我的开发中没有N。
@unlut：如果你的意思是解决方案应该有一个术语 n.2^n，我说不。 (wolframalpha.com/input/…)
我不知道 wolframalpha 可以用于这些，谢谢。我会找出我的解决方案中的错误。
@unlut：事实上，不需要 Alpha。这个有限差分方程并不难。