如何确定递归代码的 Big-O？答案

【问题标题】：How do determine Big-O of recursive code?如何确定递归代码的 Big-O？
【发布时间】：2016-10-18 06:12:30
【问题描述】：

我有以下代码，这是这个问题的答案：https://leetcode.com/problems/add-digits/

class Solution {
public:
    int addDigits(int num) {
        if (!num/10)
            return num;

        long d = 1;
        int retVal = 0;

        while(num / d){
            d *= 10;
        }
        for(d; d >= 1; d/=10){
            retVal += num / d;
            num %= d;
        }
        if (retVal > 9)
            retVal = addDigits(retVal);

        return retVal;
    }
};

不过，作为对此的后续行动，我正在尝试确定 BigO 的增长情况。我第一次尝试计算它是O(n^n)（我假设因为每个深度的增长都直接取决于每次n），这令人沮丧。我错了吗？我希望我错了。

【问题讨论】：

当然不是O(n^n)。而是像O(f(n)) 这样的东西，其中f() 是一个非线性函数。我不太熟悉这个话题，所以很抱歉我不能告诉你f() 应该是什么样子。

标签： c++ recursion big-o

【解决方案1】：

在这种情况下，它是线性的 O(n)，因为您递归地调用 addDigits 方法，没有任何循环，并且在方法主体中不会出现一次

更新：从递归函数被调用一次的角度来看，它是线性的。但是，在这种情况下，情况并不完全正确，因为执行次数几乎不取决于输入参数。

【讨论】：

但它递归的数量与n不是线性的

【解决方案2】：

看起来它是 O(1) 用于值 O(n) 用于任何其他值。

我对 Big-O 表示法不够精通，无法给出如何组合的答案。

很可能第一部分在重要性上是可以接受的，因此整体时间复杂度变为O(n)。

【讨论】：

【解决方案3】：

设n 为num 的以10 为底的位数。我会这么说

T(1)=O(1)

T(n)=n+T(n') 与 n'

这给了我们

O(n*n)

但是我们可以做得更好吗？请注意，用 2 位数字表示的最大数字是 99，以这种方式减少 99->18->9。

请注意，我们总是可以将 10 个数字折叠成 2 个9999999999->90。对于n>10，我们可以将n/10segments 中的数字分解为每个最多10 位数字，并将这些段减少为每个2 位数字的数字相加。 n/10 2 位数的总和将始终小于（或等于）(n/10)*2 位数。因此

T(n)=n+T(n/5) 对于 n>=10

T(n)=O(1) 对于 n

T(n)=n+T(n/5) 对于 n>=10

求解递推方程得到

n>=10 的 O(n)

【讨论】：