为什么 lg(n!)=O(nlg(n)) [重复] 的可能解释答案

【问题标题】：Possible explanation for why lg(n!)=O(nlg(n)) [duplicate]为什么 lg(n!)=O(nlg(n)) [重复] 的可能解释
【发布时间】：2012-02-23 18:09:02
【问题描述】：

可能重复：
Is log(n!) = Θ(n·log(n))?

我的“证明”为什么 lg(n!) 是 O(nlg(n)) 是因为 n 在多项式上大于 lg(n!)，因此 nlg(n) 在多项式上总是大于 lg(n ！）。这是一个可以接受的理由吗？还是你必须在数学上证明它（在这种情况下我不知道如何处理阶乘）

【问题讨论】：

【解决方案1】：

ln n! = n\ln n - n +O(ln(n))

【讨论】：

【解决方案2】：

回想一下 ln(a⋅b) = ln(a) + ln(b)。因此，ln(n!) = ln(n⋅(n−1)⋅…⋅2⋅1) = ln(n) + ln(n−1) + … ln(2) + ln(1);通过检查得出 n⋅ln(n) ≤ ln(n!)。

【讨论】：

【解决方案3】：

您可能确实需要一些在数学上更严格的东西，但这并不太难。自从

 lg(n!) = lg 1 + lg 2 + lg 3 + ..... + lg n

您可以考虑y = lg x 图形下方的区域，并将其与http://en.wikipedia.org/wiki/Rectangle_method 近似。你会得到类似http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling's_approximation 的东西。

因为你的矩形需要上下边界。

【讨论】：

【解决方案4】：

我见过的通常证明是，对于足够大的 n，n! n。两边取对数得到log(n!)n)。由于 log(b^a) = a log(b)，我们得到 log(n!) 。 p>

【讨论】：