函数式编程中的所有纯函数都是连续的吗？答案

【问题标题】：Are all pure functions in functional programming continuous?函数式编程中的所有纯函数都是连续的吗？
【发布时间】：2016-04-09 15:08:04
【问题描述】：

我知道 Haskell 函数集只是所有数学函数的一个子集，因为它是一种编程语言，所以它的所有函数都必须是可计算的。但是，从数学的角度来看，所有 Haskell 函数（以及一般的纯函数）都是continuous，这是真的吗？

【问题讨论】：

@HarryDeveloper1212 我认为这是一个很好的问题。我进行了一些编辑，以便（我希望）澄清我理解问题的含义。如果您对我的更改不满意，请随时再次edit your question 将其恢复。

标签： function haskell math functional-programming purely-functional

【解决方案1】：

可计算函数在 Scott 连续性的意义上是连续的，在您链接到的 Wikipedia 页面的第二段中提到。

不连续函数的一个例子是（伪Haskell）

isInfinite :: [a] -> Bool
isInfinite xs
    | {- xs is an infinite list x0 : x1 : x2 : ... -}        = True
    | {- xs is a finite list x0 : x1 : x2 : ... : xn : [] -} = False
    | {- xs is a list with diverging spine
                            x0 : x1 : x2 : ... : xn : _|_ -} = _|_

它不能连续，因为

() : () : () : ...

是序列的上确界

_|_
() : _|_
() : () : _|_
...

但是

True = isInfinite (() : () : () : ...)

不是序列的上确界

_|_ = isInfinite (_|_)
_|_ = isInfinite (() : _|_)
_|_ = isInfinite (() : () : _|_)
...

可计算函数是连续的，本质上是因为在有限的时间内，函数只能检查有限数量的输入。因此，如果一个可计算函数在特定输入上返回 True，它必须在输入集中的每个输入上返回 True，这些输入与特定有限观察集合上的原始输入一致。任何收敛到原始输入的递增序列最终都会落在这个集合内，所以这个递增序列上的函数值序列将收敛到True。

连续函数不一定是可计算的。例如，任何保序（即f _|_ = _|_，或f 是常数）函数Integer -> Bool 是连续的，因为Integer 是一个平面域。但当然，其中只有无数个是可计算的。

【讨论】：