从 Bool 到 Bool 有多少种不同的函数？

Question

因为这（至少在我看来）与编程密切相关，所以我在这里而不是在 math 或 cs 上提问，但如果您认为它最适合那里或另一边，请只是发表你的意见。

在 Bartosz Milewski 的 Category Theory for Programmers 第 2 章末尾，有一个问题：

从Bool 到Bool 有多少种不同的功能？你能全部实现吗？

这是我的推理：

• Bool 里面只有两个元素，True 和 False；
• 不同是指如果考虑黑盒，函数会做什么，而不管它们内部发生了什么（例如，两个函数将两个Ints 的总和分别编码为arg1 + arg2 和arg2 + arg1，将从Int 到Int 的功能相同）；
• 所以不同的功能是从两个Bools 之一到两个Bools 中的另一个：
  1. T 到 T
  2. T 到 F
  3. F 到 T
  4. F 到 F
• 我需要哪些功能才能使这些进出方案成为可能？好吧，我想我只需要两个，例如允许 1 和 4 的恒等函数，以及允许 2 和 3 的否定。

我的推理正确吗？

Answer 1

有四个功能：

1

假->假
真 -> 假

2

假->假
真->真

3

假->真
真 -> 假

4

假->真
真->真

说明

你的推理大部分是正确的。函数是黑盒，我们将它们视为值。由于输入是一个布尔值并且有两个可能的值，并且函数可能有两个单独的值，基本上是数字 if 2^2 = 4

Answer 2

不同的功能是从两个Bools 之一到两个Bools 中的另一个

没有。函数确实将其domain 中的每个 值映射到其codomain 中的一个值。您需要考虑所有可能的映射组合。为此，将函数视为 relation 并列出它们可能是有意义的：

• f -> f, t -> f
• f -> f, t -> t
• f -> t, t -> f
• f -> t, t -> t

这些对应4个功能

• x => f（常量假）
• x => x（身份）
• x => not(x)（否定）
• x => t（常量为真）

Answer 3

您问的是编程而不是数学或 CS，这一事实很重要。

在数学上，他们会告诉你有四个这样的函数，按其他答案列出。

在 CS 中，他们会告诉您有 27 个：三个可能的输入 T F 和 ⊥ 各一个，三个可能的输出 T F 和 ⊥ 各一个。

在编程中，我可以告诉你有十一个：

• (T->T, F->F, ⊥->⊥) 身份
• (T->F, F->T, ⊥->⊥) 不是
• (T->T, F->T, ⊥->T) 惰性常数真
• (T->F, F->F, ⊥->F) 惰性常数假
• (T->T, F->T, ⊥->⊥) 严格常量为真
• (T->F, F->F, ⊥->⊥) 严格常数假
• (T->⊥, F->F, ⊥->⊥) 身份在 true 时失败
• (T->T, F->⊥, ⊥->⊥) 身份因错误而失败
• (T->⊥, F->T, ⊥->⊥) 在 true 上不会失败
• (T->F, F->⊥, ⊥->⊥) 不失败
• (T->⊥, F->⊥, ⊥->⊥) 失败

（这个答案很诙谐：我认为实际上大多数学术 CS 类型会说 4 或 11。）