Matlab：两个向量之间的欧几里得范数（或差）

Question

我想计算向量 G 和数组 C 的每一行之间的欧几里得距离，同时将每一行除以向量 GSD 中的一个值。我所做的似乎非常效率低下。我最大的开销是什么？ 我可以加快速度吗？

m=1E7;
G=1E5*rand(1,8);
C=1E5*[zeros(m,1),rand(m,8)]; 
GSD=10*rand(1,8);

%I've taken the log10 of the values because G and C are very large in magnitude. 
%Don't know if it's worth it.

for i=1:m
    dG(i,1)=norm((log10(G)-log10(C(i,2:end)))/log10(GSD));
end

使用下面的示例，它们并没有给出相同的答案。事实上，他们都没有给出相同的答案（见下图使用：

dG = pdist2(log10(G),log10(C(:,2:end)),'mahalanobis',diag(log10(GSD))); %(1)

dG = sqrt(sum((log10(G)-log10(C(:,2:end))./log10(GSD)).^2,2)); 

tmp=bsxfun(@rdivide,bsxfun(@minus,log10(G),log10(C(:,2:end))),log10(GSD)); %(4)
dG = sqrt(sum(tmp.^2,2));

Answer 1

您可以使用pdist2(x,y) 计算x 和y 中所有元素之间的成对距离，因此您的示例类似于

dG = pdist2(log10(G),log10(C(:,2:end)),'mahalanobis',diag(log10(GSD)).^2);

其中名称对'mahalanobis',diag(log10(GSD)).^2 将log10(GSD) 作为欧几里德上的权重，这就是众所周知的马氏距离。

请注意，马氏距离最初是为了规范化数据，因此它是“协方差”，必须作为第四个输入，然后 MATLAB 找到对角线时 (element-wise squareroot) 的 Cholesky 分解，如这里)。

隐式扩展

在较新的 MATLAB 版本中，也可以只是隐式扩展，因为第一个条目只有 1 个向量。

dG = sqrt(sum(((log10(G)-log10(C(:,2:9)))./log10(GSD)).^2,2));

这可能会快一点，但是我确实更喜欢pdist2 解决方案，因为我发现它更清晰。

Answer 2

浮点应该处理大量的输入数据，直到float数据的某个点和double数据的任何合理值

realmax('single')
ans =
  3.4028e+38

realmax('double')
ans =
  1.7977e+308

对于 +/- 1e5 范围内的 1e7 值，您可能期望欧几里得距离的平方在 +/- 1e17 范围内 (5+5+7)，这两种格式都可以轻松处理。

在任何情况下，您都应该对代码进行矢量化以移除循环（Matlab 有处理效率非常低的历史，尤其是在旧版本中）

对于新版本（2016b 及更高版本），只需使用：

tmp=(log10(G)-log10(C(:,2:end)))./log10(GSD);
dG = sqrt(sum(tmp.^2,2)); %row-by-row norm

请注意，您必须使用./，这是一个元素除法，而不是/，它是矩阵右除法。

以下代码在任何地方都可以使用

tmp=bsxfun(@rdivide,bsxfun(@minus,log10(G),log10(C(:,2:end))),log10(GSD));
dG = sqrt(sum(tmp.^2,2)); %row-by-row norm

然而，我认为使用 log10 是一个数学错误。结果 dG 将不是是欧几里得范数。你应该坚持加权差的均方根：

dG = sqrt(sum(bsxfun(@rdivide,bsxfun(@minus,G,C(:,2:end)),GSD).^2,2)); % all versions
dG = sqrt(sum((G-C(:,2:end)./GSD).^2,2)); %R2016b and later