使用 MATLAB 和 CVX 的 Frobenius 范数最小化答案

【问题标题】：Frobenius norm minimization using MATLAB and CVX使用 MATLAB 和 CVX 的 Frobenius 范数最小化
【发布时间】：2016-10-14 11:24:25
【问题描述】：

我有以下形式的 SVM 问题：

minimize ||Q||_F subject to l_i (x_i^T Q x_i) >= 1

其中Q 是方阵，x_i 是训练示例，l_i 是训练示例的标签。

有没有办法使用现有的 MATLAB 优化工具，使用内置优化例程或 CVX、libsvm 或其他优化包来解决这个问题？

【问题讨论】：

恐怕这个问题不适合 Stack Overflow。首先，对于周围的大多数程序员来说，这可能还不清楚。然后，它要么太宽泛（如果您希望我们编写代码），要么是库/工具推荐问题（这也是题外话，因为它往往会吸引垃圾邮件和低质量的答案。

标签： matlab optimization matrix libsvm cvx

【解决方案1】：

利用trace算子的属性，我们得到如下

应该很容易翻译成 CVX。对范数进行平方并向量化矩阵，我们得到了一个不等式约束的二次程序。除了使用CVX，还可以使用quadprog。

LaTeX 代码：

$$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \| \mathrm Q \|_F\\ \text{subject to} & \mbox{tr} (l_1  \mathrm x_1  \mathrm x_1^T  \mathrm Q) \geq 1\\ &\qquad\vdots\\ & \mbox{tr} (l_m  \mathrm x_m  \mathrm x_m^T  \mathrm Q) \geq 1\end{array}$$

【讨论】：