比较两个图表

Question

我需要比较许多图表（最多几百万个图表比较），我想知道最快的方法是什么。

图的顶点最多可以有 8 个邻居/边，并且顶点的值可以是 0 或 1。旋转图仍然是同一个图，每个图都有相同数量的顶点。

图表可能如下所示：

现在我通过从第一个图中获取一个顶点并将其与第二个图中的每个顶点进行比较来比较图。如果找到相同的顶点，则检查两个顶点的邻居是否相同，然后重复此操作，直到知道图形是否相同为止。

这种方法太慢了。在不丢弃肯定不同的图的情况下，比较几千个图和大约一百个顶点需要 40 多秒。

我正在考虑计算每个图表的唯一值，然后只比较值。我试图这样做，但我只设法提出如果相等则图形可能相等的值，如果值不同则图形也不同。
如果我的程序比较这些值，那么它会在大约 2.5 秒内计算所有内容（这仍然太慢）。

向该图添加顶点并更新边的最佳/最快方法是什么？现在我将此图存储在 std::map< COORD, Vertex > 中，因为我认为这样搜索顶点更容易/更快。
COORD 是游戏板上的顶点位置（顶点位置与比较图无关），顶点是：

struct Vertex
{
    Player player; // Player is enum, FIRST = 0, SECOND = 1
    Vertex* neighbours[8];
};

此图表示 Gomoku 的当前棋盘状态，在棋盘边缘环绕，棋盘大小为 n*n，其中 n 最大为 2^16。

我希望我在写这篇文章时没有犯太多错误。我希望有人可以帮助我。

Answer 1

抱歉，我还没有能力发表评论。这并不完全是一个答案，而是一个可能的优化建议。

我建议尝试记忆（存储所有发现不同的顶点对），以便下次比较这两个顶点时，您只需进行简单的查找和回复。这可能会提高性能（或恶化性能），具体取决于您拥有的图表类型。

Answer 2

您要解决的问题称为graph isomorphism。

问题出在 NP 中（尽管不知道它是否是 NP-Complete）并且没有找到它的多项式时间算法。

您描述的算法似乎需要指数级时间。

Answer 3

首先，您需要将每个图形转换为一致的表示，这样做的自然方法是创建图形的有序表示。

第一级排序是通过根据邻居的数量进行分组来实现的。

每个具有相同数量邻居的节点组通过将其邻居值（0 和 1）映射到一个二进制数上进行排序，然后用于在组节点之间强制执行顺序。

然后您可以使用散列函数以有序形式迭代每个组的每个节点。然后可以使用散列值来提供加速查找

Answer 4

您发现自己可以通过检查一个边框的所有 n*n 移位乘以另一个边框旋转 8 次来检查同构，因此具有O(n^3) 复杂性。

这可以简化为O(n^2)。让我们只向一个方向移动，比如移动x 轴。然后我们只需要找到正确的y-offset。为此，我们将两个图的元素连接如下：

. . 1 .            0 . . 3
0 1 . .     =>     0 1 2 .     =>     0 3 0 1 2 0 2
. 0 . .            0 . 2 .
_______            
1 2 3 4            ^---- a 0 indicates start of a row

我们得到两个大小为n 的数组，我们必须检查一个是否是另一个的循环置换。为此，我们将数组 a 与其自身连接并搜索另一个。

例如，如果两个数组是 a=0301202 和 b=0203012，我们使用 KMP 或类似方法在 03012020301202 中搜索 0203012，它在 O(n + 2n)=O(n) 时间运行（我们可以摆脱整个预处理，因为第一个数组总是相同的）。

将此O(n) x-check 与n y-shifts 和8 旋转相结合，通过使用O(n) 额外空间为O(n^2) 提供了整体复杂性。