如何在反向传播算法中使用链式法则的结果中乘以矩阵

Question

我试图了解反向传播在数学上是如何工作的，并希望在 python 中使用 numpy 实现它。我使用带有一个隐藏层的前馈神经网络进行计算，sigmoid 作为激活函数，均方误差作为误差函数。 This 是我计算结果的截图，问题是有一堆矩阵，我不能把它们完全相乘，因为它们没有相同的维度。 （截图中L为输出层，L-1为隐藏层，L-2为输入层，W为权重，E为误差函数，小写A为激活）

（代码中第一层有28*28个节点，[因为我用的是0-9位的MNIST数据库作为训练数据]，隐藏层是15个节点，输出层是10个节点）。

# ho stands for hidden_output
# ih stands for input_hidden

def train(self, input_, target):
    self.input_ = input_
    self.output = self.feedforward(self.input_)

    # Derivative of error with respect to weight between output layer and hidden layer
    delta_ho = (self.output - target) * sigmoid(np.dot(self.weights_ho, self.hidden), True)) * self.hidden

    # Derivative of error with respect to weight between input layer and hidden layer
    delta_ih = (self.output - target) * sigmoid(np.dot(self.weights_ho, self.hidden), True)) * self.weights_ho * sigmoid(np.dot(self.weights_ih, self.input_), True) * self.input_

    # Adjust weights
    self.weights_ho -= delta_ho
    self.weights_ih -= delta_ih

在delta_ho = ... 行，矩阵的尺寸为 (10x1 - 10x1) * (10x1) * (1x15) 那么我该如何计算呢？感谢您的帮助！

Answer 1

这是来自斯坦福 CS231 的笔记：http://cs231n.github.io/optimization-2/。

对于矩阵/向量的反向传播，要记住的一件事是梯度 w.r.t. （相对于）变量（矩阵或向量）始终具有与变量相同的形状。

比如loss​​为l，在loss的计算中有一个矩阵乘法运算：C = A.dot(B)。假设A 的形状为(m, n)，B 的形状为(n, p)（因此C 的形状为(m, p)）。梯度 w.r.t. C 是dC，它也有形状(m, p)。要使用dC 和B 得到一个形状为A 的矩阵，我们只能将dC.dot(B.T) 这是两个形状为(m, p) 和(p, n) 的矩阵相乘得到dA，损失的梯度wrt A。类似地，损失 w.r.t 的梯度。 B 是dB = A.T.dot(dC)。

对于任何添加的操作，例如 sigmoid，您可以像其他任何地方一样将它们向后链接。