梯度下降和封闭形式解决方案 - MATLAB 中的不同假设线答案

【问题标题】：Gradient Descent and Closed Form Solution - Different Hypothesis Lines in MATLAB梯度下降和封闭形式解决方案 - MATLAB 中的不同假设线
【发布时间】：2017-03-25 13:42:14
【问题描述】：

我正在编写我从 coursera 机器学习课程 (MATLAB) 中学到的关于线性回归的知识。有一个类似的帖子我找到了here，但我似乎无法理解所有内容。也许是因为我在机器学习方面的基础有点薄弱。

我面临的问题是，对于某些数据......梯度下降 (GD) 和封闭形式解决方案 (CFS) 都给出了相同的假设线。然而，在一个特定的数据集上，结果是不同的。我读过一些关于，如果数据是单数的，那么结果应该是相同的。但是，我不知道如何检查我的数据是否是单数的。

我会尽力说明：

1) 首先，这是改编自here 的MATLAB 代码。对于给定的数据集，在 GD 和 CFS 给出相似结果的情况下，一切都很好。

数据集

X                   Y
2.06587460000000    0.779189260000000
2.36840870000000    0.915967570000000
2.53999290000000    0.905383540000000
2.54208040000000    0.905661380000000
2.54907900000000    0.938988900000000
2.78668820000000    0.966847400000000
2.91168250000000    0.964368240000000
3.03562700000000    0.914459390000000
3.11466960000000    0.939339440000000
3.15823890000000    0.960749710000000
3.32759440000000    0.898370940000000
3.37931650000000    0.912097390000000
3.41220060000000    0.942384990000000
3.42158230000000    0.966245780000000
3.53157320000000    1.05265000000000
3.63930020000000    1.01437910000000
3.67325370000000    0.959694260000000
3.92564620000000    0.968537160000000
4.04986460000000    1.07660650000000
4.24833480000000    1.14549780000000
4.34400520000000    1.03406250000000
4.38265310000000    1.00700090000000
4.42306020000000    0.966836480000000
4.61024430000000    1.08959190000000
4.68811830000000    1.06344620000000
4.97773330000000    1.12372390000000
5.03599670000000    1.03233740000000
5.06845360000000    1.08744520000000
5.41614910000000    1.07029880000000
5.43956230000000    1.16064930000000
5.45632070000000    1.07780370000000
5.56984580000000    1.10697580000000
5.60157290000000    1.09718750000000
5.68776170000000    1.16486030000000
5.72156020000000    1.14117960000000
5.85389140000000    1.08441560000000
6.19780260000000    1.12524930000000
6.35109410000000    1.11683410000000
6.47970330000000    1.19707890000000
6.73837910000000    1.20694620000000
6.86376860000000    1.12510460000000
7.02233870000000    1.12356720000000
7.07823730000000    1.21328290000000
7.15142320000000    1.25226520000000
7.46640230000000    1.24970650000000
7.59738740000000    1.17997060000000
7.74407170000000    1.18972990000000
7.77296620000000    1.30299340000000
7.82645140000000    1.26011340000000
7.93063560000000    1.25622670000000

我的 MATLAB 代码：

clear all; close all; clc; 
x = load('ex2x.dat');
y = load('ex2y.dat');

m = length(y); % number of training examples

% Plot the training data
figure; % open a new figure window
plot(x, y, '*r');
ylabel('Height in meters')
xlabel('Age in years')

% Gradient descent
x = [ones(m, 1) x]; % Add a column of ones to x
theta = zeros(size(x(1,:)))'; % initialize fitting parameters
MAX_ITR = 1500;
alpha = 0.07;

for num_iterations = 1:MAX_ITR

    thetax = x * theta;
    % for theta_0 and x_0
    grad0 = (1/m) .* sum( x(:,1)' * (thetax - y));
    % for theta_0 and x_0
    grad1 = (1/m) .* sum( x(:,2)' * (thetax - y));

    % Here is the actual update
    theta(1) = theta(1) - alpha .* grad0;
    theta(2) = theta(2) - alpha .* grad1;
end
% print theta to screen
theta

% Plot the hypothesis (a.k.a. linear fit)
hold on
plot(x(:,2), x*theta, 'ob')
% Plot using the Closed Form Solution
plot(x(:,2), x*((x' * x)\x' * y), '--r')
legend('Training data', 'Linear regression', 'Closed Form')
hold off % don't overlay any more plots on this figure''

[编辑：抱歉标注错误……这不是正规方程，而是封闭形式的解决方案。我的错] 此代码的结果如下所示（这是桃色：D GD 和 CFS 的结果相同）-

现在，我正在使用另一个数据集测试我的代码。数据集的 URL 是 here - GREY KANGAROOS。我将其转换为 CSV 并将其读入 MATLAB。请注意，我进行了缩放（除以最大值，因为如果我不这样做，则根本不会出现假设线，并且 theta 在 MATLAB 中显示为 Not A Number (NaN)）。

灰袋鼠数据集：

我对要在此数据集中读取的代码所做的更改

    dataset = load('kangaroo.csv');
    % scale?
    x = dataset(:,1)/max(dataset(:,1));
    y = dataset(:,2)/max(dataset(:,2));

出来的结果是这样的：[编辑：对不起标签错误......这不是正规方程，而是封闭形式的解决方案。我的错]

我想知道这种差异是否有任何解释？任何帮助将不胜感激。提前谢谢！

【问题讨论】：

标签： matlab machine-learning linear-regression gradient-descent

【解决方案1】：

我没有运行你的代码，但让我给你一些理论：

如果你的代码是正确的（看起来像）：增加MAX_ITER，它会更好看。

梯度下降不能保证收敛于MAX_ITER，实际上梯度下降是一种相当慢的方法（convergence-wise）。

“标准”凸函数（如您尝试求解的函数）的梯度下降收敛看起来像这样（来自互联网）：

忘记迭代次数，因为它取决于问题，而专注于形状。可能发生的情况是您的 maxiter 在此图像中落在“20”之类的地方。因此，您的结果很好，但不是最好的！

但是，直接求解正规方程将为您提供最小平方误差解。（我假设正常方程你的意思是x=(A'*A)^(-1)*A'*b）。问题是在很多情况下您无法将 A 存储在内存中，或者在 ill-posed 问题中，正规方程将导致 ill-condition 数值不稳定的矩阵，因此使用梯度下降。

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【讨论】：

感谢您的解释。显然我在问题本身上犯了一个错误。这不是正规方程，而是封闭形式的解决方案。抱歉，添麻烦了。但是无论如何感谢您的解释......因为在此之后我将朝着正规方程的方向前进。

【解决方案2】：

我想我明白了。我不成熟地认为最大迭代 1500 次就足够了。我尝试了更高的值（即 5k 和 10k），两种算法都开始给出类似的解决方案。所以我的主要问题是迭代次数。它需要更多的迭代才能正确收敛该数据集：D

【讨论】：