使用四元数的最近邻答案

【问题标题】：Nearest Neighbours using Quaternions使用四元数的最近邻
【发布时间】：2011-06-22 11:45:48
【问题描述】：

给定一个四元数，我想在一组四元数中找到它最近的邻居。为此，我显然需要一种方法来比较两个四元数之间的“距离”。这种比较需要什么样的距离表示，它是如何计算的？

谢谢，

乔什

【问题讨论】：

【解决方案1】：

你的四元数只是 3D 空间中的一个点吗？

那么两个四元数x1,y1,z1,w1和x2,y2,x2,w2之间的距离由下式给出：

distance = sqrt((x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1-z2)^2)，假设w 组件用于定向。 IE。这与两个 3D 点之间的距离相同。

你的四元数是 4D 空间中的一个点吗？

那么它们之间的距离由下式给出：

distance = sqrt((x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1-z2)^2 + (w1-w2)^2).

这只是 4D 空间的扩展。这个euclidean distance 公式适用于任意数量的维度。

【讨论】：

感谢您的回答。四元数表示为 4D 空间中的一个点。我按照建议使用了欧几里得距离，它提供了合理的结果。
在那里的第二个公式中发现了一个额外的括号，但由于它少于 6 个字符，因此无法进行编辑。应该是distance = sqrt((x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1-z2)^2 + (w1-w2)^2)。感谢您的回答！

【解决方案2】：

如果“距离”是指两个方向之间的最短圆弧旋转，那么简单的欧几里得距离是可以的（L2 或 norm2）。

因为方向之间的角度可以写成

theta = acos(q1.w*q2.w + q1.x*q2.x + q1.y*q2.y + q1.z*q2.z);

然后，L2 越大，距离越大。

注意：如果提供负点积，则查询前的所有四元数都应取反。您可以使用通常的 KNN 匹配来加快查询速度。

【讨论】：

【解决方案3】：

这是一个老问题，但似乎需要更多答案。如果四元数是用于表示旋转的单位长度的四元数，那么欧几里德距离会给出一些有趣的结果，因为四元数提供了旋转空间的 2 倍冗余表示；即，四元数及其否定表示相同的方向。在这种情况下，正确的距离度量是四元数之间的角度，限制在[0,pi/2] 范围内：

theta = acos(q1.w*q2.w + q1.x*q2.x + q1.y*q2.y + q1.z*q2.z);
if (theta>pi/2) theta = pi - theta;

【讨论】：

【解决方案4】：

这实际上取决于您使用四元数的目的。一个简单的距离度量就是它们的差值的绝对值。

如果 x = a + b i + c j + d k y = e + f i + g j + h k

比欧几里得距离

 |x-y| = sqrt( (a-e)² + (b-f)² + (c-g)² + (d-h)² )

【讨论】：