线性规划 - 组合模型

Question

（将它从 math.se 移到这里 - 它没有得到足够的爱。对不起！）

因此，我被分配使用线性（整数）编程对多处理器设置进行建模。基本上，有五个处理器之间有链接，目标是找到通信/处理的最佳调度，以最大限度地减少处理一组数据的时间。图表如下：

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|A|
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 |
 |
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|B|----|D|
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 |      |
 |      |
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|C|----|E|
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A 是数据源。现在，有几种不同的场景（与流向和发送/接收数据的顺序有关），并且对于每种场景，表示处理时间的不等式是不同的。

例如，如果数据从 B 流向 D，从 B 流向 C，从 D 流向 E，从 C 流向 E，则 B 先与 C 通信，再与 D 通信，E 先从 C 接收，然后从 D 中，C 的总处理时间等于：

Tc >= Cab + Cbc + Cce + Sc*Dc //Sc is constant

但是，如果 B 先将数据发送给 D，然后再发送给 C，那么它是

Tc >= Cab + Cbd + Cbc + Cce + Sc*Dc //Sc is constant

等等。总的来说，有 10 种这样的场景，每一种都需要满足一些不等式。我需要的是一种与我的求解器沟通的方式“选择其中一组不等式，而不介意其余的”。我想我将不得不使用一些二进制变量来对它们进行编码，我也听说过将变量乘以一个巨大的值来“模拟”一个条件，但目前我找不到一种方法来“合并”所有将这些迷你模型合二为一，让求解器选择最佳方案。

Answer 1

这是公式的草图：

你有十个场景，S1 到 S10

让我们引入二进制变量Y_i，它表示 10 个场景中的哪一个在起作用。 所以这些变成了Specially Ordered Set：

 Sum (over i in 1..10 )  Y_i = 1 (Only one scenario holds at a time.)

要求

对于每种情况，都必须遵守一些不等式。应忽略所有其他不等式（适用于其他情况）。

让 M 成为一个大数。假设比任何数据集的最大可能处理时间大两个数量级。

目标函数：

Min T

约束：

T >= Ta
...
T >= Tc
..
T >= Te

让我们使用您的场景...我们称之为场景s。对于场景s 下需要满足的每个不等式，我们在大于不等式的 LHS 中引入一个 M(1-Y_s) 项。

场景 s 的不等式：

Tc + M(1-Y_s) >= Cab + Cbc + Cce + Sc*Dc //Sc is constant
Tc + M(1-Y_s) >= Cab + Cbd + Cbc + Cce + Sc*Dc //Sc is constant
...
...

其他场景的不等式 t：

Td + M(1-Y_t) >= Cde + Cbc + Sd*Dd //Sd is constant
Td + M(1-Y_t) >= Cde + Cbd + Cbc + Cce + Sd*Dd //Sd is constant
..

场景 u 的不等式：

...
...
and so on.

根据 Y_i 为 1，那些 M(1-Y_i) 项将变为零。所以不平等将被强制执行。 对于所有的 M(1-Y_j).. 左边将是一个巨大的数字，不等式将永远保持微不足道。

好消息是，由于总体目标是最小化 T，而 T 又是 Ta...Te...在所有 10 个场景中的最大值，Solver 将自动选择最佳场景。

希望对您有所帮助。