大型近奇异矩阵的最小特征值

Question

在 Matlab 中，我有一个实数且对称的 n x n 矩阵 A，其中 n > 6000。即使 A 是正定的，它也接近奇异矩阵。对于改变的特定变量，A 从正定变为奇异再到不定。我要确定 A 何时变为单数。我不相信行列式，所以我正在查看特征值，但我没有内存（或时间）来计算所有 n 个特征值，而且我只对最小的感兴趣 - 特别是当它从正转负。我试过了

D = eigs(A,1,'smallestabs')

通过它我失去了特征值的符号，并且通过

D = eigs(A,1,'smallestreal')

Matlab 无法获得收敛的最低特征值。然后我尝试定义一个移位值，例如

for i = 1:10 
   if i == 1
      D(i) = eigs(A,1,0) 
   else
      D(i) = eigs(A,1,D(i-1))
   end
end

我在最后一个最低特征值的范围内查找。但是，特征值似乎表现得很奇怪，我不确定我是否真的找到了真正的最低值。

所以，关于如何做的任何想法

• 毫无疑问，用“eigs”找到最小的特征值，或者
• 通过另一种方式确定 A 何时变为单数（更改 A 中的变量时）

非常感谢！

Answer 1

解决方案

我似乎已经解决了我的特殊问题。 Matlabs 命令chol 有可能返回一个值p，如果矩阵是正定的，则​​该值为零。因此，执行

[~,p] = chol(A)

在我的例子中，它决定了从正定到非正定的转换（意味着先单数然后不定），并且在计算上也非常有效。在chol 的文档中，它也优于eigs 来检查正定性。但是，如果矩阵只是半-正定矩阵，则结果似乎有些混乱，因此在这种情况下要小心。

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替代解决方案

我遇到了几种可能的解决方案，我想说明一下：

行列式： 对于正定矩阵，行列式是正的。但是，对于不定矩阵，它可能是负数 - 这可能表明转换。不过，通常不建议使用大型近奇异矩阵的行列式。

特征值：对于正定矩阵，所有特征值的实部都是正的。如果至少一个特征值为零，则矩阵是奇异的，如果一个为负而其余为正，则矩阵是不确定的。检测最低特征值的符号偏移指示矩阵变为奇异的点。在matlab中，可以找到最低特征值

D = eigs(A,1,'smallestreal')

但是，在我的情况下，Matlab 无法执行此操作。或者，您可以尝试在零附近搜索：

D = eigs(A,1,0)

然而，这只会找到最接近零的特征值。即使您像我上面的原始问题中指出的那样进行循环，也不能保证您实际上找到了最低的。在某些情况下，几乎奇异矩阵的特征值的精度似乎很低。

条件数：Matlabscond通过执行返回矩阵的条件数

C = cond(A)

它表示最大特征值与最低特征值的比率。条件编号中的符号偏移由此表明了转移。然而，这对我不起作用，因为即使我有负特征值，我也只能得到正条件数。但也许它会在其他情况下起作用。