矩阵不作为正定传递

Question

我有一个 4x4 矩阵，我认为它应该作为正定传递，但是使用 is.positive.defined()，它的评估结果为假。当我使用 nearPD() 计算最近的正定矩阵时，结果矩阵用 is.positive.defined() 计算为正定矩阵，但看起来相同。

矩阵是这样的

 1 1 0 0
 1 1 0 0
 0 0 1 1
 0 0 1 1

其中 x'Mx 应计算为 (x1+x2)^2 + (x3+x4)^2，这似乎满足正定条件。

无论如何，这是代码。有谁知道我在这里有什么遗漏吗？

library(Matrix)
library(matrixcalc)

D = rbind(c(1,1,0,0),c(1,1,0,0),c(0,0,1,1),c(0,0,1,1))

##evaluates false
is.positive.definite(D)

d = nearPD(D)$mat
d = matrix(d, nrow = 4)

## looks the same as D
d

##but evaluates to positive definite
is.positive.definite(d)

Answer 1

矩阵不是正定的。 From Wikipedia:

在线性代数中，如果 zTMz 为正对于 n 个实数的每个非零列向量 z，则称对称 n × n 实矩阵 M 为正定矩阵。

考虑向量 (-1,1,-1,1)。它非零且仅包含实数。

但是(-1+1)^2+(-1+1)^2=0，不大于零。所以矩阵不是正定的。不过，矩阵是半正定的。