在垂直于向量 A 的平面上获得三维向量 B 的公式是什么？
也就是说，给定一个向量 A，什么是公式 f(angle,modulus)，它给出了一个垂直于 A 的向量，具有所述模数并旋转了一个角度？
【问题讨论】：
n?其次，你的标题说“垂直”，但问题主体说“旋转了一个角度”——这个角度会不会超过 90 度？
标签： math vector formula algebra
用与A不共线的另一个向量C计算cross productAxC。
在垂直于A 的平面上有许多可能的方向。如果你并不在乎，选择哪一个，只需创建一个任意向量 C 不与 A 共线：
if (A2 != 0 || A3 != 0)
C = (1, 0, 0);
else
C = (0, 1, 0);
B = A x C;
【讨论】：
如果两个向量垂直，则它们的点积为零。
所以：v1(x1, y1, z1), v2(x2, y2, z2)。
=> x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2 = 0
你知道(x1, y1, z1)。任意输入x2和y2，就会收到对应的z2：
z1 * z2 = -x1 * x2 - y1 * y2
=> z2 = (-x1 * x2 - y1 * y2) / z1
注意z1 是否为0。然后你在飞机上。
【讨论】：
v1(x1, y1, z1)。
z1 为 0，这将失败，但是在这种情况下，问题在数学上仍然完全有效。例如，找到一个垂直于 [1,0,0] 的向量。 z1 是 0，但 [0,1,0] 绝对是一个仍然垂直于 [1,0,0] 的向量。请参阅我的答案以了解另一种方法。
一种方法是找到从正 z 轴（或任何其他轴）到给定向量的旋转变换。然后使用这个变换变换<modulus * cos(angle), modulus * sin(angle), 0>。
def getPerpendicular(v1,modulus,angle):
v2 = vector(0,0,1)
v1_len = v2.length()
axis = v1.cross_product(v2)
sinAngle = axis.length() / v1_len # |u x v| = |u| * |v| * sin(angle)
cosAngle = v1.dot_product(v2) / v1_len # u . v = |u| * |v| * cos(angle)
axis = axis.normalize()
# atan2(sin(a), cos(a)) = a, -pi < a < pi
angle = math.atan2(sinAngle, cosAngle)
rotationMatrix = fromAxisAngle(axis, angle)
# perpendicular to v2
v3 = vector(modulus*cos(angle),modulus*sin(angle),0)
return rotationMatrix.multiply(v3);
要计算旋转矩阵，请看这篇文章：WP: Rotation matrix from axis and angle
另一种方法是使用quaternion rotation。需要多花点心思，但要跟踪的数字更少。
【讨论】：
function (a,b,c)
{
return (-b,a,0)
}
但是当 a,b 接近 0 时，这个答案是不稳定的。
为避免这种情况，请使用：
function (a,b,c)
{
return c<a ? (b,-a,0) : (0,-c,b)
}
上面的答案是数值稳定的，因为如果 c < a 然后是 max(a,b) = max(a,b,c)，然后是 vector(b,-a,0).length() > max(a,b) = max(a,b,c) ，并且由于 max(a,b,c) 不应该接近于零，所以向量也是。 c > a 的情况类似。
【讨论】：
dot(vec, above_func(vec)) == 0 （我懒得尝试分析验证稳定性，所以这是我的下一个最好的选项）。效果很好。
我相信这应该产生一个垂直于给定向量vec 的任意向量，同时保持数值稳定，而不管vec 的角度如何（假设vec 的大小不接近于零）。假设 Vec3D 是一个任意数值类型的三维向量。
Vec3D arbitrary_orthogonal(Vec3D vec)
{
bool b0 = (vec[0] < vec[1]) && (vec[0] < vec[2]);
bool b1 = (vec[1] <= vec[0]) && (vec[1] < vec[2]);
bool b2 = (vec[2] <= vec[0]) && (vec[2] <= vec[1]);
return cross(vec, Vec3D(int(b0), int(b1), int(b2)));
}
非正式解释
恰好 1 个并且只有 1 个布尔值被设置；如果维度N 的大小严格小于所有后续维度且不大于所有先前维度，则设置bN。然后，我们有一个具有单个非零维度的单位向量，该维度对应于vec 中的最小幅度维度。这个与vec 的叉积通过叉积的定义与vec 正交。现在考虑只有当两个向量非常接近时，叉积在数值上是不稳定的。考虑我们的单位向量仅在一个维度上很大，并且该维度对应于 vec 较小的维度。因此保证在取叉积之前与vec 松散正交，在vec 的所有维度都相等的情况下正交性最小。在这种最小正交的情况下，我们仍然是相当正交的，因为我们的单位向量除了一维 0 之外，而 vec 都相等。因此，我们避免了取两个几乎对齐的向量的叉积的不稳定情况。
【讨论】：
q4w56 几乎可以提供强大的解决方案。问题： 1) 不考虑帐户缩放。 2) 不应该比较两个变量之间的大小。
scale = |x| + |y| + |z|
if scale == 0:
return (0,0,0)
x = x/scale
y = y/scale
z = z/scale
if |x| > |y|:
return (z, 0,-x)
else:
return (0, z,-y)
在处理非常大或非常小的数字时，缩放很重要。另外，一般来说，你最好对 0 到 1 之间的值进行浮点运算。
【讨论】：