将整数划分为 9 个有限制的非负整数答案

【问题标题】：Partitioning an Integer into 9 non-negative integers with limits将整数划分为 9 个有限制的非负整数
【发布时间】：2012-08-04 08:30:02
【问题描述】：

有一个等式：1a + 2b + 3c + 4d ... + 9i = 9

约束：1 4

其中 a,b,..,i 是非负整数，每个整数都有特定的范围。

例如：1 等等。

我需要找出这些变量的不同值集的数量，或者简单地说，就是求解该方程的方法的数量。

有一种递归方法可以解决这个问题，但速度很慢。在给定的约束下，我想不出一种有效解决这个问题的方法。

【问题讨论】：

您的第一个约束似乎没用。由于所有数字都是非负数，并且1a + 2b + 3c + 4d ... + 9i = 9，那么a + b + c + ... + i 肯定至少是1，最多是9。
@HighPerformanceMark: (0,0,0,0,...,1) 满足它。 (9,0,...,0) 也是如此。它不是一个集合，但我认为这就是操作所追求的。
还有{0,0,3,0,0,0,0,0}。
天啊。我有点过分迂腐了。

标签： algorithm puzzle partition-problem

【解决方案1】：

另一个解决方案是解决1a + 2b + 3c + 4d ... + 9i = 1（微不足道）并在给出1a + 2b + 3c + 4d ... + 9i = N 的解决方案的情况下找到1a + 2b + 3c + 4d ... + 9i = N+1 的所有解决方案。基本上就是a => a+1 或a=>a-1, b=>b+1 或b=>b-1, c=>c+1 等。

这是很好的递归，但只需要 8 次迭代即可达到 N=9，并且在每次迭代中，您只需递增或递减 9 个变量。

【讨论】：

【解决方案2】：

您基本上想要替换范围受限的变量，所以 a' = a+1, 0 <= a' <= 4 和 b' = b+2, 0 <= b' <= 1。从零开始使数学更容易。它还允许您将等式重写为1a' + 2b' + ... + 9i = 4。由于所有术语都是非负的，这极大地限制了搜索空间。例如，这意味着 e 到 i 都必须为 0。这会将等式简化为仅 `1a' + 2b' + 3c + 4d = 4。

【讨论】：

【解决方案3】：

如果你仔细想想，解决方案实际上是非常有限的。

因为所有数字都是非负数，所以你有：

1a + 2b + 3c + 4d ... + 9i = 9

这意味着：

0 <= a <= 9
0 <= b <= 4
0 <= c <= 3
0 <= d <= 2
0 <= e <= 1
0 <= f <= 1
0 <= g <= 1
0 <= h <= 1
0 <= i <= 1

也就是说，只有10*5*4*3*2*2*2*2*2 = 19200 个案例需要考虑。

您可以遍历这些案例并找出哪些满足您的其他约束以及哪些满足

1a + 2b + 3c + 4d ... + 9i = 9

提示：首先给出从i 到a 的值。这样，例如 i 或 h 的高值会立即缩小较小数字的可能值范围。

确保在计算之前应用MSalters' 方法。尽管在这种情况下没有必要，因为问题太简单了，但总的来说它有很大帮助。

【讨论】：

准确来说，需要检查 5*4*3*2*2*2*2*2=1920 种可能性，如果还有可能的解决方案 - a 的值已定义。
@amit，如果您首先开始将值分配给具有最高系数的值，这正是您将得到的。但感谢您指出这一点。
@Shabaz：是的，我错过了你提到的那句话。无论如何，这应该可以解决这个维度和约束的问题。+1 为简单起见。