scipy.optimize 可以完全最小化复杂变量的函数吗？如何最小化？

Question

我正在尝试使用scipy.optimize 最小化复杂（向量）变量的函数。到目前为止，我的结果表明这可能是不可能的。为了研究这个问题，我实现了一个简单的例子 - 最小化具有偏移量的复向量的 2-范数：

import numpy as np
from scipy.optimize import fmin

def fun(x):
    return np.linalg.norm(x - 1j * np.ones(2), 2)

sol = fmin(fun, x0=np.ones(2) + 0j)

输出是

Optimization terminated successfully.
         Current function value: 2.000000
         Iterations: 38
         Function evaluations: 69

>>> sol
array([-2.10235293e-05,  2.54845649e-05])

显然，解决方案应该是

array([0.+1.j, 0.+1.j])

对这个结果很失望，我也试过scipy.optimize.minimize：

from scipy.optimize import minimize

def fun(x):
    return np.linalg.norm(x - 1j * np.ones(2), 1)

sol = minimize(fun, x0=np.ones(2) + 0j)

输出是

>>> sol
      fun: 2.0
 hess_inv: array([[ 9.99997339e-01, -2.66135332e-06],
       [-2.66135332e-06,  9.99997339e-01]])
      jac: array([0., 0.])
  message: 'Optimization terminated successfully.'
     nfev: 24
      nit: 5
     njev: 6
   status: 0
  success: True
        x: array([6.18479071e-09+0.j, 6.18479071e-09+0.j])

也不好。我已经尝试为minimize 指定所有可能的方法（根据需要提供雅可比和黑森），但它们都没有达到正确的结果。多数导致ComplexWarning: Casting complex values to real discards the imaginary part，说明无法正确处理复数。

这可能使用scipy.optimize吗？

如果是这样，如果有人能告诉我我做错了什么，我将非常感激。

如果没有，您是否对允许这样做的替代优化工具（用于 Python）有建议？

Answer 1

SciPy 的最小化方法仅适用于实际参数。但是在复数空间 Cⁿ 上的最小化等于在 R²ⁿ 上的最小化，复数的代数从不考虑。因此，添加两个包装器用于从 Cⁿ 到 R²ⁿ 的转换并返回，您可以优化复数。

def real_to_complex(z):      # real vector of length 2n -> complex of length n
    return z[:len(z)//2] + 1j * z[len(z)//2:]

def complex_to_real(z):      # complex vector of length n -> real of length 2n
    return np.concatenate((np.real(z), np.imag(z)))

sol = minimize(lambda z: fun(real_to_complex(z)), x0=complex_to_real(np.ones(2) + 0j))
print(real_to_complex(sol.x))   # [-7.40376620e-09+1.j -8.77719406e-09+1.j]

您提到 Jacobian 和 Hessian ......但最小化只对实值函数有意义，并且这些函数对于复变量永远不可微。无论如何，雅可比矩阵和黑森矩阵都必须在 R²ⁿ 上计算，将实部和虚部视为单独​​的变量。