使用 scipy.optimize 最小化多元、可微函数

Question

我正在尝试使用scipy.optimize 最小化以下功能：

它的渐变是这样的：

（对于那些感兴趣的人，这是用于成对比较的 Bradley-Terry-Luce 模型的似然函数。与逻辑回归密切相关。）

很明显，向所有参数添加一个常量不会改变函数的值。因此，我让 \theta_1 = 0。这是目标函数和 python 中的梯度的实现（theta 在这里变为x）：

def objective(x):
    x = np.insert(x, 0, 0.0)
    tiles = np.tile(x, (len(x), 1))
    combs = tiles.T - tiles
    exps = np.dstack((zeros, combs))
    return np.sum(cijs * scipy.misc.logsumexp(exps, axis=2))

def gradient(x):
    zeros = np.zeros(cijs.shape)
    x = np.insert(x, 0, 0.0)
    tiles = np.tile(x, (len(x), 1))
    combs = tiles - tiles.T
    one = 1.0 / (np.exp(combs) + 1)
    two = 1.0 / (np.exp(combs.T) + 1)
    mat = (cijs * one) + (cijs.T * two)
    grad = np.sum(mat, axis=0)
    return grad[1:]  # Don't return the first element

下面是cijs 的示例：

[[ 0  5  1  4  6]
 [ 4  0  2  2  0]
 [ 6  4  0  9  3]
 [ 6  8  3  0  5]
 [10  7 11  4  0]]

这是我为执行最小化而运行的代码：

x0 = numpy.random.random(nb_items - 1)
# Let's try one algorithm...
xopt1 = scipy.optimize.fmin_bfgs(objective, x0, fprime=gradient, disp=True)
# And another one...
xopt2 = scipy.optimize.fmin_cg(objective, x0, fprime=gradient, disp=True)

但是，它总是在第一次迭代中失败：

Warning: Desired error not necessarily achieved due to precision loss.
         Current function value: 73.290610
         Iterations: 0
         Function evaluations: 38
         Gradient evaluations: 27

我不知道它为什么会失败。由于这一行，错误被显示： https://github.com/scipy/scipy/blob/master/scipy/optimize/optimize.py#L853

所以这个“沃尔夫线搜索”似乎没有成功，但我不知道如何从这里开始......感谢任何帮助！

Answer 1

作为@pv。作为评论指出，我在计算梯度时犯了一个错误。首先，我的目标函数梯度的正确（数学）表达式是：

（注意减号。）此外，我的 Python 实现完全错误，超出了符号错误。这是我更新的渐变：

def gradient(x):
    nb_comparisons = cijs + cijs.T
    x = np.insert(x, 0, 0.0)
    tiles = np.tile(x, (len(x), 1))
    combs = tiles - tiles.T
    probs = 1.0 / (np.exp(combs) + 1)
    mat = (nb_comparisons * probs) - cijs
    grad = np.sum(mat, axis=1)
    return grad[1:]  # Don't return the first element.

为了调试它，我使用了：

• scipy.optimize.check_grad：表明我的梯度函数产生的结果与近似（有限差分）梯度相差甚远。
• scipy.optimize.approx_fprime 了解值应该是什么样的。
• 一些精心挑选的简单示例可以在需要时手动分析，以及一些 Wolfram Alpha 查询以进行完整性检查。

Answer 2

看来您可以将其转换为（非线性）最小二乘问题。这样，您必须为每个 n 变量定义间隔和每个变量的样本点数，以便构建系数矩阵。

在本例中，我对所有变量使用相同的点数和相同的区间：

from scipy.optimize import leastsq
from numpy import exp, linspace, zeros, ones

n = 4
npts = 1000
xs = [linspace(0, 1, npts) for _ in range(n)]

c = ones(n**2)

a = zeros((n*npts, n**2))
def residual(c):
    a.fill(0)
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            for k in range(npts):
                a[i+k*n, i*n+j] = 1/(exp(xs[i][k] - xs[j][k]) + 1)
                a[i+k*n, j*n+i] = 1/(exp(xs[j][k] - xs[i][k]) + 1)

    return a.dot(c)

popt, pconv = leastsq(residual, x0=c)
print(popt.reshape(n, n))
#[[ -1.24886411   1.07854552  -2.67212118   1.86334625]
# [ -7.43330057   2.0935734   37.85989442   1.37005925]
# [ -3.51761322 -37.49627917  24.90538136  -4.23103535]
# [ 11.93000731   2.52750715 -14.84822686   1.38834225]]

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编辑：关于上面构建的系数矩阵的更多详细信息：