从稀疏到稠密再到稀疏的转换在构造稀疏矩阵后再次降低密度

Question

我正在使用 scipy 生成一个稀疏的有限差分矩阵，最初从块矩阵构造它，然后编辑对角线以考虑边界条件。生成的稀疏矩阵属于 BSR 类型。我发现如果我将矩阵转换为密集矩阵，然后使用 scipy.sparse.BSR_matrix 函数转换回稀疏矩阵，我会得到一个比以前更稀疏的矩阵。这是我用来生成矩阵的代码：

size = (4,4)

xDiff = np.zeros((size[0]+1,size[0]))
ix,jx = np.indices(xDiff.shape)
xDiff[ix==jx] = 1
xDiff[ix==jx+1] = -1

yDiff = np.zeros((size[1]+1,size[1]))
iy,jy = np.indices(yDiff.shape)
yDiff[iy==jy] = 1
yDiff[iy==jy+1] = -1

Ax = sp.sparse.dia_matrix(-np.matmul(np.transpose(xDiff),xDiff))
Ay = sp.sparse.dia_matrix(-np.matmul(np.transpose(yDiff),yDiff))

lap = sp.sparse.kron(sp.sparse.eye(size[1]),Ax) + sp.sparse.kron(Ay,sp.sparse.eye(size[0]))

#set up boundary conditions
BC_diag = np.array([2]+[1]*(size[0]-2)+[2]+([1]+[0]*(size[0]-2)+[1])*(size[1]-2)+[2]+[1]*(size[0]-2)+[2])

lap += sp.sparse.diags(BC_diag)

如果我检查这个矩阵的稀疏性，我会看到以下内容：

lap
<16x16 sparse matrix of type '<class 'numpy.float64'>'
with 160 stored elements (blocksize = 4x4) in Block Sparse Row format>

但是，如果我将其转换为密集矩阵，然后再转换回相同的稀疏格式，我会看到一个更稀疏的矩阵：

sp.sparse.bsr_matrix(lap.todense())
<16x16 sparse matrix of type '<class 'numpy.float64'>'
with 64 stored elements (blocksize = 1x1) in Block Sparse Row format>

我怀疑发生这种情况的原因是因为我使用 sparse.kron 函数构造了矩阵，但我的问题是是否有一种方法可以在不先转换为密集的情况下获得较小的稀疏矩阵，例如，如果我结束想要模拟一个非常大的域。

Answer 1

[我被告知我的答案不正确。如果我理解的话，原因是 Scipy 没有使用 Lapack 来创建矩阵，而是使用它自己的代码来实现这个目的。有趣的。这些信息虽然出乎意料，但具有权威性。我会遵守的！

[我会留下答案以供参考，但不再断言答案是正确的。]

一般来说，当涉及到稀疏矩阵等复杂的数据结构时，有两种情况：

1. 构造函数提前知道结构的全部内容；或
2. 结构设计为逐步构建，因此只有在结构完成后才能知道结构的全部内容。

复杂数据结构的经典案例是二叉树的案例。您可以通过在完成后复制二叉树来提高效率。否则，树的标准红黑实现留下的一些搜索路径是其他搜索路径的两倍——这通常是可以的，但不是最优的。

现在，您可能知道所有这些，但我提到它是有原因的。 Scipy 依赖于 Lapack。 Lapack 带来了几种不同的存储方案。其中两个是

• 一般稀疏和
• 带状

计划。 Scipy 似乎首先将您的矩阵存储为稀疏矩阵，其中每个非零元素的索引都被显式存储；但是，在复制时，Scipy 注意到带状表示更合适——因为您的矩阵毕竟是带状的。

Answer 2

BSR 将数据存储在密集块中：

In [167]: lap.data.shape                                                        
Out[167]: (10, 4, 4)

在这种情况下，这些块有很多零。

In [168]: lap1 = lap.tocsr() 
In [170]: lap1                                                                  
Out[170]: 
<16x16 sparse matrix of type '<class 'numpy.float64'>'
    with 160 stored elements in Compressed Sparse Row format>
In [171]: lap1.data                                                             
Out[171]: 
array([-2.,  1.,  0.,  0.,  1.,  0.,  0.,  0.,  1., -3.,  1.,  0.,  0.,
        1.,  0.,  0.,  0.,  1., -3.,  1.,  0.,  0.,  1.,  0.,  0.,  0.,
        1., -2.,  0.,  0.,  0.,  1.,  1.,  0.,  0.,  0., -3.,  1.,  0.,
        0.,  1.,  0.,  0.,  0.,  0.,  1.,  0.,  0.,  1., -4.,  1.,  0., 
        ...
        0.,  0.,  1., -2.])

就地清理：

In [172]: lap1.eliminate_zeros()                                                
In [173]: lap1                                                                  
Out[173]: 
<16x16 sparse matrix of type '<class 'numpy.float64'>'
    with 64 stored elements in Compressed Sparse Row format>

如果我在使用kron时指定csr格式：

In [181]: lap2 = sparse.kron(np.eye(size[1]),Ax,format='csr') + sparse.kron(Ay,n
     ...: p.eye(size[0]), format='csr')                                         
In [182]: lap2                                                                  
Out[182]: 
<16x16 sparse matrix of type '<class 'numpy.float64'>'
    with 64 stored elements in Compressed Sparse Row format>