构造稀疏矩阵，稀疏做什么？

Question

让我们考虑以下矩阵

 A = [ 0   0   0   5
      0   2   0   0
      1   3   0   0
      0   0   4   0]

A =

     0     0     0     5
     0     2     0     0
     1     3     0     0
     0     0     4     0

如果我们这样做

sparse(A)

ans =

   (3,1)        1
   (2,2)        2
   (3,2)        3
   (4,3)        4
   (1,4)        5

它只显示了这些元素的非零元素和索引，但是我如何使用这些数据来构造新的向量或数组？我也想了解以下命令

S = sparse(i,j,s,m,n) 

它的定义是这样的

i 和 j 分别是矩阵的非零元素的行和列索引向量。 s 是一个非零值向量，其索引由对应的 (i,j) 对指定。 m 是结果矩阵的行维度，n 是列维度。

但是它对我们创建新数组有帮助吗？或者一般来说稀疏命令的想法是什么？我知道这是对存储的优化并且只采用非零元素，但是我们如何在进一步的计算中使用结果呢？提前谢谢

Answer 1

这只是存储问题，使用稀疏矩阵作为普通矩阵：

A = [ 0   0   0   5
      0   2   0   0
      1   3   0   0
      0   0   4   0];

B = [ 1   6   1   5
      6   2   0   0
      9   3   5   9
      8   7   4   0];


A = sparse(A); % Reduce memory footprint

C = B*A; % Continue thinking of matrix A as a normal matrix

D = A(:, 2); % Address elements as if A is normal matrix ...
             % i.e. D = [0 2 3 0].'

语法：

S = sparse(i,j,s,m,n);

用于直接将矩阵构造为稀疏矩阵（不临时分配普通矩阵）：

n = 4; % Final row count
m = 4; % Final column count
i = [3 2 3 4 1]; % Non null rows indices
j = [1 2 2 3 4]; % Non null columns indices
s = [1 2 3 4 5]; % Non null values    
AA = sparse(i, j, s, n, m) % Same matrix as 'sparse(A)' without temporary allocation of full A