我有一个 NxN 矩阵，其中所有元素的值都在 [-1, 1] 之间。我可以手动计算香农的熵，但我想要像冯诺依曼熵这样的东西。 Numpy/Scipy 中是否有任何内置函数？ 手动方法也可以。 矩阵通常大小为 100x100。像这样。
[[-0.244608 -0.71395497 -0.36534627]
[-0.44626849 -0.82385746 -0.74654582]
[ 0.38240205 -0.58970239 0.67858516]]
谢谢。
【问题讨论】：
标签： python numpy matrix sympy entropy
只求特征值呢？ 未经测试的伪代码
import numpy as np
from numpy import linalg as LA
M = ... # this is your matrix
e, v = LA.eig(M)
t = e * np.log(e)
return -np.sum(t)
更新
查看配套网站，您可能会对这个答案感兴趣
https://cs.stackexchange.com/questions/56261/computing-von-neumann-entropy-efficiently
更新
如果您不想通过特征值/多项式，那么您可以使用 Jordan 分解来计算矩阵的对数（其他一切都是微不足道的）以获得 Jordan normal form of a matrix。在 python 中，它可以通过 SymPy 完成，http://docs.sympy.org/0.7.1/modules/matrices.html#sympy.matrices.matrices.Matrix.jordan_form，详情请查看Compute Jordan normal form of matrix in Python / NumPy。
然后可以使用 Gantmacher 1959 定理从 Jordan 形式计算 log(M)，查看这篇论文 https://www.ams.org/journals/proc/1966-017-05/S0002-9939-1966-0202740-6/S0002-9939-1966-0202740-6.pdf 以获得简化解释，尤其是 eqns 3.4-3.8
但我敢打赌，你的矩阵的甜甜圈乔丹范式会很复杂。
【讨论】：
log(M)，是一一对应的。不管物理学家怎么说，非自伴矩阵将具有复特征值、复 log() 和复复熵值。我想说的是，在您的情况下，无论您采用何种方法，复杂值都是不可避免的。
您可以根据 Nielsen & Chuang 在“量子计算和量子信息”中的两种方法之一来定义冯诺依曼熵。它可以用矩阵的迹乘以它自己的（矩阵）对数的（负数）来定义......或者......它可以用特征值来定义。上面的例子都取以 e 为底的对数，但您需要以 2 为底。为此，您需要在计算中更改底数。以下是 Python 中可以使用的两个函数，一个用于 von Neumann entropy（密度算子）定义的每个版本：
对于跟踪版本
def von_neumann_entropy(rho):
import numpy as np
from scipy import linalg as la
R = rho*(la.logm(rho)/la.logm(np.matrix([[2]])))
S = -np.matrix.trace(R)
return(S)
对于特征值版本
def vn_eig_entropy(rho):
import numpy as np
from scipy import linalg as la
import math as m
EV = la.eigvals(rho)
# Drop zero eigenvalues so that log2 is defined
my_list = [x for x in EV.tolist() if x]
EV = np.array(my_list)
log2_EV = np.matrix(np.log2(EV))
EV = np.matrix(EV)
S = -np.dot(EV, log2_EV.H)
return(S)
这些将返回相同的值，因此您使用哪个并不重要。只需使用
之类的方法将其中一个函数输入一个方阵rho = np.matrix([[5/6, 1/6],
[1/6, 1/6]])
显然任何方阵都可以使用，而不仅仅是 2x2，这只是为了给你一个例子。如果您的矩阵的特征值为零，则惯例是将 0*log(0) 项设置为零。这由第二个函数vn_eig_entropy 处理。所有密度矩阵都是“非负定的”，因此这是您应该遇到的唯一特征值问题。我知道这个回复有点晚了，但也许它会帮助别人。
【讨论】：