Python 2D 中的傅里叶变换

Question

我想使用fft2 以数字方式执行Fourier transform 的Gaussian function。在这种转换下，函数被保留为一个常数。

我创建了 2 个网格：一个用于real space，第二个用于frequency（动量、k 等）。 （频率移至零）。我评估函数并最终绘制结果。

这是我的代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.fftpack import fft2, ifft2
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

"""CREATING REAL AND MOMENTUM SPACES GRIDS"""
N_x, N_y = 2 ** 11, 2 ** 11
range_x, range_y = np.arange(N_x), np.arange(N_y)
dx, dy = 0.005, 0.005
# real space grid vectors
xv, yv = dx * (range_x - 0.5 * N_x), dy * (range_y - 0.5 * N_y)
dk_x, dk_y = np.pi / np.max(xv), np.pi / np.max(yv)
# momentum space grid vectors, shifted to center for zero frequency
k_xv, k_yv = dk_x * np.append(range_x[:N_x//2], -range_x[N_x//2:0:-1]), \
            dk_y * np.append(range_y[:N_y//2], -range_y[N_y//2:0:-1])

# create real and momentum spaces grids
x, y = np.meshgrid(xv, yv, sparse=False, indexing='ij')
kx, ky = np.meshgrid(k_xv, k_yv, sparse=False, indexing='ij')

"""FUNCTION"""
f = np.exp(-0.5 * (x ** 2 + y ** 2))
F = fft2(f)
f2 = ifft2(F)
"""PLOTTING"""
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
surf = ax.plot_surface(x, y, np.abs(f), cmap='viridis')
# for other plots I changed to
# surf = ax.plot_surface(kx, ky, np.abs(F), cmap='viridis')
# surf = ax.plot_surface(x, y, np.abs(f2), cmap='viridis')
plt.show()

所以，gaussian, fourier(gaussian), inverse_fourier(fourier(gaussian)) 的图如下：Initial、Fourier、Inverse Fourier

使用plt.imshow()，我另外绘制高斯傅里叶：

   plt.imshow(F)
   plt.colorbar()
   plt.show()

结果如下：imshow

这没有意义。我希望看到与初始相同的 gaussian function 直到某种恒定的统一顺序。

如果有人能为我澄清这一点，我将非常高兴。

Answer 1

我认为您对输出 F 的形状有点困惑。特别是，您可能想知道为什么会看到如此尖锐的峰值而不是广泛分布的高斯。

我稍微修改了你的代码：

 import numpy as np
 import matplotlib.pyplot as plt
 from scipy.fftpack import fft2, ifft2
 from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

 """CREATING REAL AND MOMENTUM SPACES GRIDS"""
 N_x, N_y = 2 ** 10, 2 ** 10
 range_x, range_y = np.arange(N_x), np.arange(N_y)
 dx, dy = 0.005, 0.005
 # real space grid vectors
 xv, yv = dx * (range_x - 0.5 * N_x), dy * (range_y - 0.5 * N_y)
 dk_x, dk_y = np.pi / np.max(xv), np.pi / np.max(yv)
 # momentum space grid vectors, shifted to center for zero frequency
 k_xv, k_yv = dk_x * np.append(range_x[:N_x//2], -range_x[N_x//2:0:-1]), \
             dk_y * np.append(range_y[:N_y//2], -range_y[N_y//2:0:-1])

 # create real and momentum spaces grids
 x, y = np.meshgrid(xv, yv, sparse=False, indexing='ij')
 kx, ky = np.meshgrid(k_xv, k_yv, sparse=False, indexing='ij')

 """FUNCTION"""
 sigma=0.05
 f = 1/(2*np.pi*sigma**2) * np.exp(-0.5 * (x ** 2 + y ** 2)/sigma**2)
 F = fft2(f)
 """PLOTTING"""
 fig = plt.figure()
 ax = Axes3D(fig)
 surf = ax.plot_surface(x, y, np.abs(f), cmap='viridis')
 # for other plots I changed to
 fig2 = plt.figure()
 ax2 =Axes3D(fig2)
 surf = ax2.plot_surface(kx, ky, np.abs(F)*dx*dy, cmap='viridis')
 plt.show()

请注意，我引入了一个sigma 参数来控制高斯的宽度。我现在邀请您使用以下参数：N_x 和 N_y、d_x 和 d_y 和 sigma。

然后您应该看到高斯在实空间和傅立叶空间中的逆行为：实空间中的高斯越大，傅立叶空间越窄，反之亦然。

因此，使用我的代码中当前设置的参数，您会得到以下图表：

真实空间：

傅立叶空间：