使用 matplotlib 绘制 Duffing 振荡器的吸引力盆地

Question

我有一个常微分方程组，它有两个吸引子，一个在 (1, 0)，另一个在 (-1, 0)。我想在笛卡尔坐标中绘制一个吸引盆，其中有两种颜色，显示随着时间趋于正无穷大，每个坐标点上的一个点最终会成为哪个吸引子。但是，我不知道如何用 matplotlib 绘制这样的图。 这是我现在所做的：

from scipy.integrate import ode
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy.linalg import norm

"""
The system of ODE:
x' = y
y' = x - x**3 - gamma*y
"""

# The system of equation
def f(t, r, arg):
    return [r[1], r[0] - r[0] ** 3 - arg * r[1]]

# The Jacobian matrix
def jac(t, r, arg):
    return [[0, 1], [1 - 3 * r[0] ** 2, -arg]]

# r is the vector (x,y)
# Initial condition, length of time evolution, time step, parameter gamma
def solver(r0, t0, t1, dt, gamma):

    solution = ode(f, jac).set_integrator('dopri5')

    # Set the value of gamma
    solution.set_initial_value(r0, t0).set_f_params(gamma).set_jac_params(gamma)

    return solution


# The function to find the fixed point each starting point ends at
def find_fp(r0, t0, t1, dt, gamma):
    solution = solver(r0, t0, t1, dt, gamma)
    error = 0.01
    while solution.successful():
        if norm(np.array(solution.integrate(solution.t+dt)) - np.array([1, 0])) < error:
            return 1
        elif norm(np.array(solution.integrate(solution.t+dt)) - np.array([-1, 0])) < error:
            return -1

def fp(i, j, gamma):
    t0, t1, dt = 0, 10, 0.1
    return find_fp([i, j], t0, t1, dt, gamma)

我已经定义了几个函数。 f 是一个定义方程组的函数，jac 系统的雅可比矩阵，用作使用scipy.integrate.ode 的dopri5 方法（Kutta-Runge 方法）求解 ODE 的参数。 find_fp函数被定义为返回相空间中一个点将结束的吸引子，返回值1表示该点将结束于(1, 0)，-1为(-1 , 0)。到目前为止，这些功能似乎运行良好。但是，我不知道如何使用我对matplotlib 模块所做的事情来绘制一个吸引盆地。有什么好的想法吗？

Answer 1

Quick'n'dirty：选择靠近静止点的初始点并向后计算一段时间的解。绘制溶液并根据吸引子着色。

gamma = 1.2

def solution(x,y):
    return odeint(lambda u,t: -np.array(f(t,u,gamma)), [x,y], np.arange(0,15,0.01))

for i in range(-10,11):
    for j in range(-10,11):
        sol = solution(-1+i*1e-4, 0+j*1e-4);
        x,y = sol.T; plt.plot(x,y,'.b',ms=0.5);
        sol = solution(+1+i*1e-4, 0+j*1e-4);
        x,y = sol.T; plt.plot(x,y,'.r',ms=0.5);
plt.grid(); plt.show();

这给出了图像

gamma 的其他值或更长的积分间隔需要小心处理，因为三次项会导致反向时间积分中的超指数爆炸。