在 Python 中平滑曲线

Question

我有两个数据点列表：

list_x = [-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49]
list_y = [1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

当我绘制它们时，图表将如下所示：

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(list_x, list_y)
plt.show()

根据这些数据点，有没有办法让图形看起来像下图并得到它的图形方程？

================================================ =============

我尝试使用here 的解决方案，但它生成的图形不平滑。

from scipy.interpolate import spline
import numpy as np

list_x_new = np.linspace(min(list_x), max(list_x), 1000)
list_y_smooth = spline(list_x, list_y, list_x_new)

plt.plot(list_x_new, list_y_smooth)
plt.show() 

Answer 1

这里还有 3 个曲线平滑选项：

1. Savitzky-Golay 过滤器
2. LOWESS 更平滑
3. IIR 滤波器

但首先，重新创建原始情节：

import matplotlib.pyplot as plt

list_x = [-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49]
list_y = [1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

plt.plot(list_x, list_y)
plt.show()

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1. 来自 scipy 的 Savitzky-Golay 过滤器

Savitzky-Golay 技术使用最小二乘法将相邻点的子集（窗口）拟合到低阶多项式。

如何应用 Savitzky-Golay 过滤器：

from scipy.signal import savgol_filter

window = 21
order = 2
y_sf = savgol_filter(list_y, window, order)
plt.plot(list_x, y_sf)
plt.show()

window 和 order 参数表示此过滤器的适应性很强。

在scipy documentation 中阅读有关使用此过滤器的更多信息。

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1. 来自 statsmodels 的 LOWESS 更平滑

LOWESS（局部加权散点图平滑）是一种local regression 方法。以我的经验，它很容易调整，并且通常会产生很好的效果。

如何应用 LOWESS 平滑器：

import statsmodels.api as sm

y_lowess = sm.nonparametric.lowess(list_y, list_x, frac = 0.30)  # 30 % lowess smoothing

plt.plot(y_lowess[:, 0], y_lowess[:, 1])
plt.show()

可以通过改变frac 参数来改进近似值，这是估计每个y 值时使用的数据的一部分。增加frac 值以增加平滑量。 frac 值必须介于 0 和 1 之间。

有关statsmodels lowess usage的更多详细信息。

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1. 来自 scipy 的 IIR 过滤器

应用 lfilter 后：

from scipy.signal import lfilter

n = 15             # larger n gives smoother curves
b = [1.0 / n] * n  # numerator coefficients
a = 1              # denominator coefficient
y_lf = lfilter(b, a, list_y)

plt.plot(list_x, y_lf)
plt.show()

查看scipy lfilter documentation，了解有关如何在差分方程中使用分子和分母系数的实施细节。

scipy.signal package 中还有其他过滤器。

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必须注意避免对所有这些方法进行过度平滑。

此外，其中一些方法可能会产生意想不到的边缘效应。

Answer 2

与 Davis Herring 的建议相呼应的一个简单选择是对数据使用多项式近似

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure()
poly = np.polyfit(list_x,list_y,5)
poly_y = np.poly1d(poly)(list_x)
plt.plot(list_x,poly_y)
plt.plot(list_x,list_y)
plt.show()

您会注意到图右端的振荡在原始数据中不存在，这是多项式逼近的产物。

Davis 建议的样条插值是另一个不错的选择。改变平滑度参数s可以在平滑度和与原始数据的距离之间取得不同的平衡。

from scipy.interpolate import splrep, splev

plt.figure()
bspl = splrep(list_x,list_y,s=5)
bspl_y = splev(list_x,bspl)
plt.plot(list_x,list_y)
plt.plot(list_x,bspl_y)
plt.show()

Answer 3

因为您的数据是近似的（即，它已被量化），您需要approximating spline，而不是插值样条。