计算图形着色代码复杂度的差异

Question

考虑下面的代码。假设所讨论的图有 N 个节点，每个节点最多有 D 个邻居，并且 D+1 种颜色可用于为节点着色，这样与一条边相连的两个节点都不会分配给它们相同的颜色。我认为下面代码的复杂性是 O(N*D)，因为对于 N 个节点中的每一个，我们循环遍历该节点的最多 D 个邻居以填充集合非法颜色，然后遍历包含 D+1 的颜色列表颜色。但是给出的复杂度是 O(N+M)，其中 M 是边数。我在这里做错了什么？

def color_graph(graph, colors):
    for node in graph:
        if node in node.neighbors:
            raise Exception('Legal coloring impossible for node with loop: %s' %
                            node.label)

        # Get the node's neighbors' colors, as a set so we
        # can check if a color is illegal in constant time
        illegal_colors = set([
            neighbor.color
            for neighbor in node.neighbors
            if neighbor.color
        ])

        # Assign the first legal color
        for color in colors:
            if color not in illegal_colors:
                node.color = color
                break

Answer 1

边数M、最大度数D和节点数N满足不等式： M <= N * D / 2.

因此O(N+M) 包含在O(N*(D+1)) 中。

在您的算法中，您循环遍历每个节点的每个邻居。确切的复杂度不是N*D，而是d1 + d2 + d3 + ... + dN，其中di 是节点i 的度数。这个总和等于2*M，最多等于N*D，但可能会更少。

因此，您的算法的复杂度为O(N+M)。因此它也是O(N*(D+1))。请注意，O(N*(D+1)) = O(N*D) 在假设 D >= 1 下。

说你的算法在O(N+M) 中运行比说它在O(N*D) 中运行要精确一些。如果大多数节点的邻居比D 少很多，那么M+N 可能比N*D 小很多。

还要注意O(M+N) = O(M) 假设每个节点至少有一个邻居。